什么叫无理数定义
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发布时间：2022-04-22 16:12
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时间：2023-07-29 02:28
在数学中，无理数是所有不是有理数字的实数，后者是由整数的比率（或分数）构成的数字。当两个线段的长度比是无理数时，线段也被描述为不可比较的，这意味着它们不能“测量”，即没有长度（“度量”）。
常见的无理数有：圆周长与其直径的比值，欧拉数e，黄金比例φ等等。
可以看出，无理数在位置数字系统中表示（例如，以十进制数字或任何其他自然基础表示）不会终止，也不会重复，即不包含数字的子序列。例如，数字π的十进制表示从3.141592653589793开始，但没有有限数字的数字可以精确地表示π，也不重复。必须终止或重复的有理数字的十进制扩展的证据不同于终止或重复的十进制扩展必须是有理数的证据，尽管基本而不冗长，但两种证明都需要一些工作。数学家通常不会把“终止或重复”作为有理数概念的定义。
无理数也可以通过非终止的连续分数来处理。
无理数是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数。简单的说，无理数就是10进制下的无限不循环小数，如圆周率、等。
而有理数由所有分数，整数组成，总能写成整数、有限小数或无限循环小数，并且总能写成两整数之比，如21/7等。
实例
如果正整数N不是完全平方数，那么√N不是有理数（是无理数）。
证明：若假设√N是有理数，不妨设√N=p/q，其中p与q都是正整数（不一定互质。若假定p、q互质则证法稍有变动）。
设的√N整数部分为a，则有不等式0<√N-a<1成立。两边乘以q，得
0<q√N-qa=p-aq<q
因p、q、a都是整数，p-aq也是一个正整数。
再在上述不等式的两边乘以√N，得0<q√N*√N-aq√N<q√N
即：0<qN-ap<p
显然，qN-ap也是一个正整数。
于是我们找到了两个新的正整数p₁=qN-ap和q₁=p-aq，它们满足，即，并且有。
重复上述步骤，可以找到一系列的使得且。因该步骤可以无限重复，意味着均可无限减小，但这与正整数最小为1矛盾。
因此假设错误，√N不是有理数。
