初中二次函数部分
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发布时间：2022-04-22 17:55
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时间：2023-10-23 20:19
1.定义：一般地，如果 是常数， ，那么 叫做 的二次函数.
2.二次函数 的性质
(1)抛物线 的顶点是坐标原点，对称轴是 轴.(2)函数 的图像与 的符号关系.
①当 时 抛物线开口向上 顶点为其最低点；②当 时 抛物线开口向下 顶点为其最高点
3.二次函数 的图像是对称轴平行于(包括重合) 轴的抛物线.
4.二次函数 用配方法可化成： 的形式，其中 .
5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
① ；② ；③ ；④ ；⑤ .
6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
① 决定抛物线的开口方向：
当 时，开口向上；当 时，开口向下； 相等，抛物线的开口大小、形状相同.
②平行于 轴(或重合)的直线记作 .特别地， 轴记作直线 .
7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.
8.求抛物线的顶点、对称轴的方法
(1)公式法： ，∴顶点是 ，对称轴是直线 .
(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为 的形式，得到顶点为( , )，对称轴是 .
(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.
★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★
9.抛物线 中， 的作用
(1) 决定开口方向及开口大小，这与 中的 完全一样.
(2) 和 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 的对称轴是直线 ,故：
① 时，对称轴为 轴；② (即 、 同号)时,对称轴在 轴左侧；
③ (即 、 异号)时,对称轴在 轴右侧.
(3) 的大小决定抛物线 与 轴交点的位置.
当 时， ，∴抛物线 与 轴有且只有一个交点(0， )：
① ，抛物线经过原点; ② ,与 轴交于正半轴；③ ,与 轴交于负半轴.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在 轴右侧，则 .
10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：
函数解析式开口方向对称轴顶点坐标
当 时
开口向上
当 时
开口向下 ( 轴)
(0,0)
( 轴)
(0, )
( ,0)
( , )
( )
11.用待定系数法求二次函数的解析式
(1)一般式： .已知图像上三点或三对 、 的值，通常选择一般式.
(2)顶点式： .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
(3)交点式：已知图像与 轴的交点坐标 、 ，通常选用交点式： .
12.直线与抛物线的交点
(1) 轴与抛物线 得交点为( )
(2)与 轴平行的直线 与抛物线 有且只有一个交点( , ).
(3)抛物线与 轴的交点
二次函数 的图像与 轴的两个交点的横坐标 、 ，是对应一元二次方程
的两个实数根.抛物线与 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点 抛物线与 轴相交；
②有一个交点(顶点在 轴上) 抛物线与 轴相切；
③没有交点 抛物线与 轴相离.
(4)平行于 轴的直线与抛物线的交点
同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为 ，则横坐标是 的两个实数根.
(5)一次函数 的图像 与二次函数 的图像 的交点，由方程组
的解的数目来确定：
①方程组有两组不同的解时 与 有两个交点;
②方程组只有一组解时 与 只有一个交点；③方程组无解时 与 没有交点.
(6)抛物线与 轴两交点之间的距离：若抛物线 与 轴两交点为 ，由于 、 是方程 的两个根，故
13．二次函数与一元二次方程的关系：
(1)一元二次方程 就是二次函数 当函数y的值为0时的情况．
(2)二次函数 的图象与 轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数 的图象与 轴有交点时，交点的横坐标就是当 时自变量 的值，即一元二次方程 的根．
(3)当二次函数 的图象与 轴有两个交点时，则一元二次方程 有两个不相等的实数根；当二次函数 的图象与 轴有一个交点时，则一元二次方程 有两个相等的实数根；当二次函数 的图象与 轴没有交点时，则一元二次方程 没有实数根
14.二次函数的应用：
(1)二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小)值；
(2)二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；
运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值．
15.解决实际问题时的基本思路：(1)理解问题；(2)分析问题中的变量和常量；(3)用函数表达式表示出它们之间的关系；(4)利用二次函数的有关性质进行求解；(5)
热心网友
时间：2023-10-23 20:19
为了完任务。
热心网友
时间：2023-10-23 20:20
不用了。。我懂二次函数部分。
