什么是微积分
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发布时间：2022-04-22 16:56
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时间：2023-07-06 09:18
微积分 = 微分 + 积分
Calculus = Differentiation + Integration
一、微分
1、微分的思想：
微分，就是微小的划分，细而微之。
思想的演化：
difference(差别) ⇒ differentiate (划分) ⇒ differentiation(微分)
2、微分的方法：
A、对任何曲线上的任意两点的连线，计算该连线的斜率，这是一个平均斜率的概念；
B、将这两个点无止境地靠近，用计算极限的方法，算出图形上一个任意点处的斜率；
C、因为点的选取是任意的，所以就得到了一个新的函数，通过新的函数就可以计算
原来曲线上每一个点的斜率，也就是可以得到原来函数整体变化规律的新的函数，
这个新函数我们给他起名为导函数，简称导数(derivative function)，原来的函数
称为原函数(antiderivative function，意思就是original function，只是鬼子不喜欢
用 original 这个词)，derivative是导出、派生、衍生的意思，anti-是反其道而行之、
反向追溯、追根溯源的意思；
D、对这个新的函数，运用同样的方法，可以进一步得到导函数的导数，我们称它为
二阶导函数，简称二阶导数(second derivative function)。以此类推。
3、微分的意义：
微分的意义实在太广、太普遍，写上千万本书也只是沧海一粟，挂一漏万。
下面举三个简单的例子：
A、纯粹几何图形上的意义：
一阶导数可以计算图形的切线、法线的斜率(gradient)；
一阶导数、二阶导数结合起来可以研究图形的极值问题(optimization,extrema)；
图形的凹凸性(Concativity)、连续性(Continuity)。
B、运动学上的意义：
位置矢量的一阶导数是速度是矢量，二阶导数是加速度矢量。
C、电磁学上的意义：
电量的导数可以计算电流强度，电流强度的导数可以计算感生电动势。
二、积分
1、积分的思想：
积分，就是求和，就是积而广之。
思想的演化：
Summation for finite terms (有限项的求和)⇒
Summation for infinite terms (无限项的求和)⇒
Summation for infinite terms with infinitesimal values (无限项无穷小的求和)⇒
Integral / Integration / Intigrating (积分) 。
2、积分的方法：
A、无限分割(endlessly dividing, division with infinite processes)；
B、求和，把无限分割出来的任意小块求和，通过计算极限的方法，得到一个
结果：如果是在确定的区间上分割求和，得到的就是一个值；
如果是在不确定的区间上分割求和，得到的是一个新的函数。
C、这个新的函数就是导函数，antiderivative function；
D、对导函数还可以继续不断地积分。
3、积分的意义：
同样地，积分的意义充满着整个自然科学、工程科学的各个学科，无法一一罗列。
下面同样列举三个例子：
A、纯粹几何图形上的意义：
计算任何曲线的长度；任何图形的面积；任何物体的体积。
B、运动学上的意义：
通过加速度计算速度，通过速度计算位移。
D、电磁学上的意义：
计算电场强度分布；计算电势分布；计算磁感应强度分布；计算电磁场能量；
计算感生电动势等等。
