证明: (1+x)^n≥1+nx (n是正整数,x>-1且不等于0)

发布网友发布时间：2022-07-31 17:04

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热心网友时间：2024-12-01 09:49

令 f(x) = (1+x)^n - nx - 1，x > -1且 x≠0

f'(x) = n(1 + x)^(n-1) - n = n [ (1+x)^(n-1) - 1 ]

当 -1 < x < 0时，0 < 1 + x < 1

(1-x)^(n-1) - 1 ≤ 0 ，即 f‘(x) ≤ 0

∴ f(x) 单调递减

f(x) > f(0) = 0

当 x>0时，1 + x > 1，(1+x)^(n-1) - 1 ≥ 0

即 f'(x) > 0 ，f(x) 是增函数

∴ f(x) > f(0) = 0

综上，f(x) > 0

即 (1+x)^n≥1+nx （n是正整数，x>-1且不等于0）

简介

函数的单调性（monotonicity）也叫函数的增减性，可以定性描述在一个指定区间内，函数值变化与自变量变化的关系。

当函数f(x) 的自变量在其定义区间内增大（或减小）时，函数值也随着增大（或减小），则称该函数为在该区间上具有单调性（单调递增或单调递减）。在集合论中，在有序集合之间的函数，如果它们保持给定的次序，是具有单调性的。

热心网友时间：2024-12-01 09:50

①当n=1时，(1+x)^n=1+x，1+nx=1+x，命题成立；②当n=2时，(1+x)^n=(1+x)^2=1+2x+x^2，1+nx=1+2x，因为x≠0，所以x^2＞0，所以(1+x)^2＞1+2x，命题成立；③假设n=k时命题成立(k为正整数)，即(1+x)^k≥1+kx，因为x＞-1，所以1+x＞0，所以(1+x)^k(1+x)≥(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx^2，因为k为正整数、x≠0，所以kx^2＞0，所以(1+x)^k(1+x)≥(1+kx)(1+x)＞1+(k+1)x，即(1+x)^(k+1)＞1+(k+1)x，命题成立；④综上所述，对所有正整数n，命题均成立。

热心网友时间：2024-12-01 09:50

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令 f(x) = (1+x)^n - nx - 1，x > -1且 x≠0
f'(x) = n(1 + x)^(n-1) - n = n [ (1+x)^(n-1) - 1 ]
当 -1 < x < 0时，0 < 1 + x < 1
(1-x)^(n-1) - 1 ≤ 0 ，即 f‘(x) ≤ 0
∴ f(x) 单调递减
f(x) > f(0) = 0
当 x>0时，1 + x > 1，(1+x)^(n-1) - 1 ≥ 0
即 f'(x) > 0 ，f(x) 是增函数
∴ f(x) > f(0) = 0
综上，f(x) > 0
即 (1+x)^n≥1+nx （n是正整数，x>-1且不等于0）

证明: (1+x)^n≥1+nx (n是正整数,x&gt;-1且不等于0)

证明: (1+x)^n≥1+nx (n是正整数,x>-1且不等于0)