初中数学中的射影定理是什么?怎么证明?

发布网友发布时间：2022-04-23 20:32

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热心网友时间：2023-07-07 14:00

所谓射影，就是正投影。直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高的平方是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。　　公式: 如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：　　（1）(BD)^2=AD·DC，（2）(AB)^2=AD·AC ，（3）(BC)^2=CD·CA 。　　等积式（4）AB×BC=AC×BD(可用“面积法”来证明）　　直角三角形射影定理的证明射影定理简图(几何画板)
：（主要是从三角形的相似比推算来的）　一、　　在△BAD与△BCD中，∵∠ABD+∠CBD=90°，且∠CBD+∠C=90°，　　∴∠ABD=∠C，　　又∵∠BDA=∠BDC=90° 　　∴△BAD∽△CBD 　　∴ AD/BD=BD/CD 　　即BD^2=AD·DC。其余同理可得可证　　注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。　　有射影定理如下：　　AB^2=AD·AC，BC^2=CD·CA 　　两式相加得：　　AB^2+BC^2=AD·AC+CD·AC =（AD+CD)·AC=AC^2 . 　　即AB^2+BC^2=AC^2（勾股定理结论）。　　二、　　已知:三角形中角A=90度,AD是高. 　　用勾股证射影　　∵AD^2=AB^2-BD^2=AC^2-CD^2, 　　∴2AD^2=AB+AC-BD-CD=BC-BD-CD=(BD+CD)-(BD+CD)=2BD×CD. 　　故AD^2=BD×CD. 　　运用此结论可得:AB=BD+AD=BD+BD×CD=BD×(BD+CD) =BD×BC, AC=CD+AD=CD+BD×CD=CD(BD+CD)=CD×CB. 　任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”：　　△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有　　a=b·cosC+c·cosB，　　b=c·cosA+a·cosC，　　c=a·cosB+b·cosA。　　注：以“a=b·cosC+c·cosB”为例，b、c在a上的射影分别为b·cosC、c·cosB，故名射影定理。　　证明1：设点A在直线BC上的射影为点D，则AB、AC在直线BC上的射影分别为BD、CD，且　　BD=c·cosB，CD=b·cosC，∴a=BD+CD=b·cosC+c·cosB. 同理可证其余。
　　证明2：由正弦定理，可得：b=asinB/sinA，c=asinC/sinA=asin(A+B)/sinA=a(sinAcosB+cosAsinB)/sinA 　　=acosB+(asinB/sinA)cosA=a·cosB+b·cosA. 同理可证其它的。

热心网友时间：2023-07-07 14:01

射影定理：直角三角形射影定理,又称“欧几里德定理”,定理内容是：直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项,每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项.公式表达为：如图,在Rt△ABC...

热心网友时间：2023-07-07 14:01

就相当于*直角三角形的相似比，中考不能用的

热心网友时间：2023-07-07 14:02

利用相似