发布网友 发布时间:2023-04-15 10:41
共4个回答
热心网友 时间:2023-10-15 15:51
函数z=xy在适合附加条件下x+y=1下的极大值为1/4。
解:令f(x,y)=z=xy,g(x,y)=x+y-1,F(x,y)=f(x,y)+ag(x,y)=xy+a(x+y-1)
那么根据拉格朗日乘数法,可知要求z=xy的最大值,需先求F(x,y)的极值点。
分别对F(x,y)函数的x和y求导,并求出导数为零时的点,可得,
φF(x,y)/φx=y+a=0
φF(x,y)/φy=x+a=0
又x+y-1=0
通过方程组可求得,a=-1/2,x=1/2,y=1/2
那么当x=1/2,y=1/2时,z=xy可取最大值=1/2*1/2=1/4。
扩展资料:
1、拉格朗日乘数法的意义
给定二元函数z=ƒ(x,y)和附加条件g(x,y)=0,为寻找z=ƒ(x,y)在附加条件下的极值点,先做拉格朗日函数F(x,y,a)=f(x,y)+a*g(x,y)。其中a为参数。
分别求取F(x,y,a)对对x和y和λ的一阶偏导数等于零时x,y及a的值。然后根据极大值或者极小值从而求出z=ƒ(x,y)和附加条件g(x,y)=0下的极值。
2、求极值的步骤
(1)做拉格朗日函数L=f(x,y,z)+λφ(x,y,z),λ称拉格朗日乘数。
(2)求L分别对x,y,z,λ求偏导,得方程组,求出驻点P(x,y,z)。
(3) 把驻点坐标代入求取极值。
参考资料来源:百度百科-拉格朗日乘数法
热心网友 时间:2023-10-15 15:52
方法1:转化为单变量求导:热心网友 时间:2023-10-15 15:52
极大值是1/4。热心网友 时间:2023-10-15 15:53
x+y=1得y=-x+1;代入函数得