常见的不等式问题解题思路 绝对值不等式的解法
发布网友
发布时间：2023-05-03 14:03
共1个回答
热心网友
时间：2023-10-20 19:00
一、重要不等式
1.平均值不等式设a1，a2，…，an是n个正实数，记Hn=n1a1+1a2+…+1an
，Gn=na1a2…an，
An=a1+a2+…+ann,Qn=a21+a22+…+a2nn
，分别称Hn，Gn，An，Qn为这n个正数的调和平均、几何平均、算术平均数、平方平均．
那么恒有不等式Hn≤Gn≤An≤Qn,等号成立当且仅当a1=a2=…=an.
2.柯西不等式对任意实数组ai,bi(i=1,2,…,n)恒有不等式“积和方不大于方和积”，即
(∑ni=1aibi)≤(∑ni=1a2i)(∑ni=1b2i)
，等式当且仅当a1b1=a2b2=…=anbn时成立.
本不等式称为柯西不等式.
3.排序不等式设有两组实数，a1,a2,…,an和b1，b2,…,bn满足
a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn，
则a1bn+a2bn-1+…+anb1≤a1c1+a2c2+…+ancn≤a1b1+a2b2+…+anbn，其中c1,c2,…，cn是实数组b1,b2，…，bn的一个排列，等式当且仅当a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn时成立，
即倒序和≤乱序和≤正序和.
4.三角不等式设Z1，Z2为任意复数，则||Z1|-|Z2||≤|Z1+Z2|≤||Z1|+|Z2||.
二、解题技巧
1.比较法（作差法或比差法）比较实数a和b的大小，作差——变形——判断（正号、负号、零）；变形时常用配方、通分、因式分解、和差化积、应用已知定理、公式法等.在a,b均为正数时，也可借助ab＞1或ab＜1来判断：作商——变形——判断（大于1或小于1）.
【例1】 设a＞b＞0，求证：aabb＞abba.
证明：因为a＞b＞0，所以ab＞1,a-b＞0.而aabbabba=(ab)a-b＞1，故aabb＞abba.
2.分析法（逆推法）从要证明的结论出发，一步一步地推导，最后达到命题的已知条件（可明显成立的不等式、已知不等式等），其每一步的推导过程都必须可逆.
【例2】 求证：5+7＞1+15.
证明：要证5+7＞1+15，即证12+235＞16+215，即35＞2+15，35＞19+415，415＜16，15＜4，15＜16，由此逆推即得5+7＞1+15.
3.综合法证明时，从已知条件入手，经过逐步的逻辑推导，运用已知的定义、定理、公式等，最终达到要证结论，这是一种常用的方法.
【例3】 n≥2，且n∈N，求证：1+12+13+…+1n＞n(nn+1-1).
证明：因为1+12+13+…+1n+n=(1+1)+(12+1)+(13+1)+…+(1n+1)
=2+32+43+…+n+1n＞n?n2?32?43?…?n+1n=n?nn+1.
所以1+12+13+…+1n＞n(nn+1-1).
4.放缩法在证题中，根据不等式的传递性，常采用舍去一些正项（或负项）而使不等式的各项之和变小（或变大），或把和（或积）里的各项换以较大（或较小）的数，或在分式中扩大（或缩小）分式中的分子（或分母），从而达到证明的目的.值得注意的是“放”、“缩”要得当，不要过头.常用方法为：改变分子（分母）放缩法、拆补放缩法、编组放缩法、寻找“中介量”放缩法.
【例4】 求证：12?34?56?…?999910000＜0.01.
证明：令p=12?34?56?…?999910000，则
p2=122?3242?5262?…?99992100002＜122-1?3242-1?…?99992100002-1=110001＜110000.
所以p＜0.01.
5.反证法
先假设结论不真，由此经过合理的逻辑推导得出矛盾，从而否定假设，导出结论的正确性.
【例5】 在面积是1的△ABC中,P是BC上任意一点,PE∥AB交AC于E，PF∥CA交AB于F，
证明:△BPF、△PCE和四边形PEAF中，至少有一个的面积不小于49.
证明：（反证法）若不然，令BPBC=x，x2＜490＜x＜23，
(1-x)2＜4913＜x＜1，1-x2-(1-x)2＜49x＞23或x＜13，
无解，故命题真.
6.排序法利用排序不等式来证明.
【例6】 在△ABC中，试证：π3≤aA+bB+cCa+b+c＜π2.
证明：不妨设a≤b≤c，于是A≤B≤C.
由排序不等式，得aA+bB+cC≥aA+bB+cC，
aA+bB+cC≥bA+cB+aC,
