二次函数中三角形的面积最大问题?抛物线Y=X2+bx+c与X轴交与A（1,0）,...

发布网友发布时间：2022-04-23 21:13

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热心网友时间：2023-10-09 20:26

抛物线y=-x²+bx+c与x轴交与A(1,0),B(-3,0)两点,与y轴交于C点；
(1)求抛物线的解析式；
(2)在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P,使三角形PBC的面积最大?若存在,求出点P的坐标及三角形PBC的面积最大值.若没有,请说明理由.
(1)由韦达定理易知：1+(-3)=-b/(-1)、(-1)×(-3)=c,
即b=-2、c=3,则y=-x²-2x+3；
(2)点B(-3,0)和点C(0,3),则易知BC=3√2；
{提示：那么P点到直线BC的距离即是三角形PBC边BC上的高h,
BC距离确定,只要h越大,其面积就越大.
P点的找法是：用与BC平行的直线还在第二象限的抛物线上的前提下,
离BC越远h越大,很显然P点就是在与BC平行的直线与抛物线有且只有一个的那个交点.}
直线BC的直线直线方程为y=x+3,则设与BC平行的直线为y=x+k,
它与抛物线y=-x²-2x+3有且只有一个交点；
联立,消去y得：x²+3x+(k-3)=0,该方程有且只有一个根,
则△=3²-4×1×(k-3)=0,解得k=21/4；
则x²+3x+(9/4)=0,解得x=-3/2；则y=15/4；
即P(-3/2,15/4)距直线BC的距离为
h=|1×(-3/2)-(-1)×(15/4)+3|/√(1²+(-1)²)=9√2/8；
则S△PBC=BC×h/2=3√2×(9√2/8)/2=27/8.