2.1-2.2 离散型随机变量
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发布时间：2023-04-24 10:50
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时间：2023-08-10 05:39
概率研究的传统方法
新的思路：
解决问题的思路：将样本空间 数字化（抽象化）
例：随机抽取一件产品，考察其是否合格，则
令
则
相对而言，新的集合 更便于使用数学的方法进行讨论。
定义：设 为概率空间，若对任意 均存在唯一实数 与之对应，且对任意 ， 是一随机事件，即
则称 为 随机变量 ( random variable ，简写为 r.v. )
对于任意实数， 都是事件，故可定义函数
称为随机变量 的 分布函数 （Cumulative Distribution Function, 简称 CDF ）
例：在实弹射击训练中，对同一目标连续打三发子弹，击中目标记为 ，否则记为 ，则样本空间
定义随机变量
则
则事件
现实中，很多试验的结果本身就是随机变量，例如：
随机变量可分为 离散型 和 非离散型随机变量 ，其中后者又可以分为 连续型随机变量 和 奇异型随机变量 ，我们主要研究其中的离散型、连续型及其混合型的随机变量。
若 r.v 可取至多可列个值,则称 为 离散型随机变量 。
例：
设 为离散型 r.v,设 所有可能的取值为
且
则称上式为 离散型 r.v X 的分布律 （Probability Distribution Law，缩写 PDL ）
设
则
一般称为r.v. 的 累积分布函数 (Cumulative Distribution Function，缩写 CDF ）
例：在实弹射击训练中,对同一目标连续打三发子弹,设每一发的命中率为 ,记 为击中目标次数,求 的分布律.
解：样本空间
r.v 的取值为 ,其分布律
分布律的特点：所有样本点对应的概率总和为 ，上例中
以上两点是分布律的本质特征，也即：
直观解释：
分布律的几种表示法
定义：如果 r.v 的分布律为
则称 r.v 服从两点分布,特别当 时称 r.v 服从 (0-1)两点分布
产生两点分布的实际背景：试验只产生两个结果.
例如：
注：如果r.v. 的分布律为
则称r.v. 服从 退化分布 (或 单点分布 )，或者说 “几乎处处”等于 ,记为
Bernoulii试验 ：只产生两个结果 的试验
n重Bernoulli试验 或 Bernoulli概型 ：将Bernoulli试验<u>独立重复</u>进行 次
例：某战士用步*对目标进行射击,记
对每次射击的观察是Bernoulli试验，连续观察 次射击结果则为 重Bernoulli试验
例：从一批产品中随机抽取一个产品进行检验,记
检验一个产品是Bernoulli试验
问：独立抽检 件产品是否是 重Bernoulli试验?
分析：产品抽一个少一个,所以每次抽检后概率
都在变化，故不能认为是 重Bernoulli试验
在 重Bernoulli试验中,令
记
对任意 ，有
令
则 是一个离散型 r.v.
的分布律是什么?
分析： 的可能取值为 ，对任意 ， 表示 次独立试验中 恰好发生了 次（ 恰好发生了 次），也即
以上取并的事件两两不相容，结合独立性的假设，可知
记 ，从而 的分布律为
不难验证
定义：若 r.v 的分布律为
则称 服从参数为 的 二项分布 ,记为
特别当 时， 就是 两点分布,即
实际背景:二项分布产生于 重Bernoulli试验
例：一大批电子元件有10%已损坏,若从这批元件中随机选取20只来组成一个线路,问这线路能正常工作的概率是多少？
解：因为元件的数量很大,所以取20只元件可看作是有放回抽样,记 表示20只元件中好品的数量,则
于是
Poisson流 ：随着时间的推移,在时间轴上源源不断出现的具有某种特性的随机粒子（事件）流.
典型的Poisson流:
设 表示时间区间 内出现的质点个数，如果 满足：
设 已知，若 r.v 的分布律为
称称 服从参数为 的 Poisson分布 ,记为
可以验证，Poisson分布满足分布律的基本性质
Poisson分布与Poisson流的关系：在Poisson流中,记时间间隔 中出现的质点数为
则 ，也即
其中参数 称为 Poisson强度 .
Poisson（小数）定理 （Poisson law of small numbers）：设 为常数， 为正整数， ，则对任一非负整数 ，有
证：记 ，则
因为
故
例：若一年中某类保险者里面每个人死亡的概率等于0.005,现有10000个人参加这类人寿保险, 试求在未来一年中在这些保险者里面：⑴ 有40个人死亡的概率; ⑵死亡人数不超过70个的概率.
解：记 为未来一年中在这些人中死亡的人数,则
(1)
因为 ，所以
(2)
注：当 很大时,直接计算二项分布的和比较难，因此在实际中往往采用如下的方法进行计算
课后思考题：习题二：1，2，5，6，7，8，10
