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讨论函数在x=0处的连续性,如果是间断点判断其类型?

发布网友 发布时间:2022-04-23 21:57

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热心网友 时间:2023-09-20 06:07


此函数只有两个是第一类间断点,它们分别是:x=1,x=-1

解:

∵y=lim(x->∞){[(1-x^2n)/(1+x^2n)]x}

∴当│x│<1时,y=x

当│x│=1时,y=0

当│x│>1时,y=-x

∵lim(x->1+)y=lim(x->1+)(-x)=-1

∴lim(x->1-)y=lim(x->1-)(x)=1

∴lim(x->1+)y≠lim(x->1-)y,即x=1是第一类间断点

∵lim(x->-1+)y=lim(x->-1+)(x)=-1

∴lim(x->-1-)y=lim(x->-1-)(-x)=1

∴lim(x->-1+)y≠lim(x->-1-)y,即x=-1是第一类间断点

故此函数只有两个是第一类间断点,它们分别是x=1与x=-1

扩展资料

求函数间断点方法:

设一元实函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义。如果函数f(x)有下列情形之一:

(1)函数f(x)在点x0的左右极限都存在但不相等,即f(x0+)≠f(x0-。

(2)函数f(x)在点x0的左右极限中至少有一个不存在.

(3)函数f(x)在点x0的左右极限都存在且相等,但不等于f(x0)或者f(x)在点x0无定义。

(4)则函数f(x)在点x0为不连续,而点x0称为函数f(x)的间断点。

间断点类型:可去间断点、跳跃间断点、无穷间断点、振荡间断点

1、可去间断点:函数在该点左极限、右极限存在且相等,但不等于该点函数值或函数在该点无定义。如函数y=(x^2-1)/(x-1)在点x=1处。

2、跳跃间断点:函数在该点左极限、右极限存在,但不相等。如函数y=|x|/x在点x=0处。

3、无穷间断点:函数在该点可以无定义,且左极限、右极限至少有一个不存在,且函数在该点极限为∞。如函数y=tanx在点x=π/2处。

4、振荡间断点:函数在该点可以无定义,当自变量趋于该点时,函数值在两个常数间变动无限多次。如函数y=sin(1/x)在x=0处。





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