P为等腰直角三角形ABC斜边AB上任意一点，PE垂直于AC，PF垂直于BC，PG垂直于EF，延长GP使得PD=PC。

发布网友 发布时间：2022-04-23 11:20

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热心网友 时间：2023-10-12 05:29

将三角形ABC沿AB边翻折，使C点落在D'点处。易证四边形ACBD'为正方形。
且由翻折知PD'=PC。

因为角CFP=角CBD'=90度，所以FP//BD'.
从而角FPG=角BD'G. 易证角PEF=角PCF=角BD'G，所以角FPG=角PEF.
而角PEF+角PFE=90度，所以角FPG+角PFE=90度。所以D'G垂直EF.

而D'落在GP的延长线上，所以D'与D重合。

在正方形ACBD内可知BC垂直BD，BC=BD。

参考:

证明：因为PF⊥CB,
所以PH//AC,
所以/_FBP=/_A=45度.
又因为/_GPF+/_FPB+/_BPD=180度
所以/_GPF+/_BPD=135度
又因为PE⊥AC,
所以PE//CB,
所以/_APE=/_ABC=45度
又因为/_APE+/_EPC+/_CPB=135度
又因为PG⊥EF,
所以/_EPG=/_CPF,
所以/_EPC=/_GPF.
所以/_CPB=/_DPB.
又因为CP=DP，
BP=BP,
所以三角形CBP和三角形DPB全等，
所以/_DBP=/_CBP=45度，BC=BD
所以/_CBD=90度，
即BC⊥BD，
（PS: /_ 是 角 的意思）

参考:
可以作PM⊥DB.
∵ABC为等腰三角形
∴AC⊥BC,∠ABC ＝∠A=45度
∵PE⊥AC,PE⊥BC
∴EPCF为矩形
∴PC=EF,∠EPF=90度,EP=CF
∵∠EPG=∠DPM,∠PGE=∠PMD=90度
∴∠PEG=∠D
可证三角形PEF与DPM全等
∴EP=DN
∴CF=DM
∵∠ABV=45度
∴PF=FB
∴四边形PMFB为正方形
则DB⊥BC,BF=BM
∵BC=CF+BF,BD=BM+MD
∴BC=BD

热心网友 时间：2023-10-12 05:29

∠CPB＝∠BPF＋∠CPF＝45°＋∠CPF
∠BPD＝∠APG＝45°＋∠EPG
∵EPFC为长方形
∴对角线互相平分
∴∠CPF＝∠EFP
∵EF⊥DG
∴∠EPG＝90°－∠PEG
∠EFP＝90°－∠PEG
∴∠EPG＝∠EFP＝∠CPF
∴∠CPB＝∠BPD
又∵CP＝PD，BP为共边
∴△CBP≌△DBP
∴∠DBP＝∠FBP＝45°，BC＝BD
∴∠DBC＝90°
∴BC垂直于BD，且BC=BD

热心网友 时间：2023-10-12 05:30

可以作PM⊥DB.
∵ABC为等腰三角形
∴AC⊥BC,∠ABC ＝∠A=45度
∵PE⊥AC,PE⊥BC
∴EPCF为矩形
∴PC=EF,∠EPF=90度,EP=CF
∵∠EPG=∠DPM,∠PGE=∠PMD=90度
∴∠PEG=∠D
可证三角形PEF与DPM全等
∴EP=DN
∴CF=DM
∵∠ABV=45度
∴PF=FB
∴四边形PMFB为正方形
则DB⊥BC,BF=BM
∵BC=CF+BF,BD=BM+MD
∴BC=BD