如图，正方形ABCD的边长为1，对角线AC与BD相交于点O，点P是AB边上的一个动点（点P不与点A、B重合），CP与

发布网友发布时间：2022-04-23 11:20

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热心网友时间：2023-10-12 05:29

（1）证明：过点O作OM∥AB交PC于点M，
则∠COM=∠CAB．
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OC，∠CAB=∠CBD=∠COM=45°，
∴AP=2OM．又∵∠1=∠2，
∴∠1+∠COM=∠2+∠CBD，
即∠OMQ=∠OQM．
∴OM=OQ∴AP=2OQ．

（2）解：根据题意作出图形，如图所示
①ⅰ、当PC绕点P逆时针旋转90°时，作EF⊥AB交BA延长线于点F，
则∠EFP=∠PBC=90°，∠3+∠CPB=90°．又∠2+∠CPB=90°，∴∠3=∠2．
又PE由PC绕点P旋转形成∴PE=PC∴△EPF≌△CPB．
∴EF=BP=x，∴AP=1-x，
∴S△APE＝

AP?EF＝

(1?x)x．
∴△APE的面积S与x的函数关系式为S＝?

x2+

x（0＜x＜1）．
ⅱ、当PC绕点P顺时针旋转90°时，作E′G⊥AB交AB延长线于点G，
则同理可得△E′PG≌△CPB，E′G=BP=x．
∴△APE的面积S与x的函数关系式为S＝?

x2+

x
由ⅰ、ⅱ可得△APE的面积S与x的函数关系式为S＝?

x2+

x，（0＜x＜1）
②由①知S与x的函数关系式为S＝?

x2+

x，（0，x，1）
即S＝?

(x ?

)2+

，（0＜x＜1）
∴当x＝

时S的值最大，最大值为

．此时点P所在的位置是边AB的中点处．