二次函数的知识点有哪些
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发布时间：2022-04-23 12:34
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时间：2023-07-27 17:41
function）,称a为二次项系数,b为一次项系数,c为常数项.一般的,形如y=ax^2+bx+c（a≠0）的函数叫二次函数.自变量（通常为x）和因变量（通常为y）.右边是整式,且自变量的最高次数是2.
注意,“变量”不同于“未知数”,不能说“二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数”.未知数只是一个数（具体值未知,但是只取一个值）,变量可在一定范围内任意取值.在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数,但不论是未知数还是未知函数,一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况）,但是函数中的字母表示的是变量,意义已经有所不同.从函数的定义也可看出二者的差别.
二次函数的解法
二次函数的通式是
y=
ax^2+bx+c如果知道三个点
将三个点的坐标带入也就是说三个方程解三个未知数
如题方程一8=a2+b2+c
化简
8=c
也就是说c就是函数与Y轴的交点
方程二7=a×62+b×6+c
化简
7=36a+6b+c
方程三7=a×(-6)2+b×(-6)+c化简
7=36a-6b+c
解出a,b,c
就可以了
上边这种是老老实实的解法
对(6,7)(-6,7)这两个坐标
可以求出一个对称轴也就是X=0
通过对称轴公式x=-b/2a
也可以算
如果知道过x轴的两个坐标(y=0的两个坐标的值叫做这个方程的两个根)也可以用对称轴公式x=-b/2a算
或者使用韦达定理一元二次方程ax+bx+c=0
(a≠0
且△=b^2-4ac≥0)中
设两个根为X1和X2
则X1+X2=
-b/a
X1·X2=c/a
一般式
y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数),顶点坐标为（-b/2a,4ac-b^2;/4a)
顶点式
y=a(x-h)^2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为（h,k）对称轴为x=h,顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax^2的图像相同,有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式
交点式
y=a(x-x1)(x-x2)
(a≠0)
[仅限于与x轴即y=0有交点A（x1,0）和
B（x2,0）的抛物线,即b^2-4ac≥0]
由一般式变为交点式的步骤：
∵X1+x2=-b/a
x1·x2=c/a
∴y=ax^2+bx+c
=a（x^2+b/ax+c/a）
=a[﹙x2-(x1+x2)x+x1x2]=a(x-x1)(x-x2)
重要概念：a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向.a>0时,开口方向向上；a0时,
函数图像与x轴有两个交点.
当△=b^2-4ac=0时,函数图像与x轴有一个交点.
当△=b^2-4ac
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时间：2023-07-27 17:41
a>0开口向上
a<0开口向下
a,b同号，对称轴在y轴左侧，反之，再y轴右侧
|x1-x2|=根号下b^2-4ac除以|a|
与y轴交点为(0,c)
b^2-4ac>0，ax^2+bx+c=0有两个不相等的实根
b^2-4ac<0，ax^2+bx+c=0无实根
b^2-4ac=0，ax^2+bx+c=0有两个相等的实根
对称轴x=-b/2a
顶点(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)
顶点式y=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a
函数向左移动d(d>0)个单位，解析式为y=a(x+b/2a+d)^2+(4ac-b^2)/4a,向右就是减
函数向上移动d(d>0)个单位，解析式为y=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a+d,向下就是减
当a＞0时，开口向上，抛物线在y轴的上方(顶点在x轴上)，并向上无限延伸；当a＜0时，开口向下，抛物线在x轴下方(顶点在x轴上)，并向下无限延伸。｜a｜越大，开口越小；｜a｜越小，开口越大.
4.画抛物线y＝ax2时，应先列表，再描点，最后连线。列表选取自变量x值时常以0为中心，选取便于计算、描点的整数值，描点连线时一定要用光滑曲线连接，并注意变化趋势。
二次函数解析式的几种形式
(1)一般式：y＝ax2+bx+c (a,b,c为常数，a≠0).
(2)顶点式：y＝a(x-h)2+k(a,h,k为常数，a≠0).
(3)两根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，a≠0.
说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)，h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y轴上；当k＝0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h＝0且k＝0时，抛物线y＝ax2的顶点在原点.
(2)当抛物线y＝ax2+bx+c与x轴有交点时，即对应二次方程ax2+bx+c＝0有实数根x1和
x2存在时，根据二次三项式的分解公式ax2+bx+c＝a(x-x1)(x-x2),二次函数y＝ax2+bx+c可转化为两根式y＝a(x-x1)(x-x2).
求抛物线的顶点、对称轴、最值的方法
①配方法：将解析式化为y＝a(x-h)2+k的形式，顶点坐标(h,k)，对称轴为直线x＝h，若a＞0，y有最小值，当x＝h时，y最小值＝k，若a＜0，y有最大值，当x＝h时，y最大值＝k.
②公式法：直接利用顶点坐标公式(- , ),求其顶点；对称轴是直线x＝- ,若a＞0，y有最小值，当x＝- 时，y最小值＝ ，若a＜0，y有最大值，当x＝- 时，y最大值＝ .
6.二次函数y＝ax2+bx+c的图像的画法
因为二次函数的图像是抛物线，是轴对称图形，所以作图时常用简化的描点法和五点法，其步骤是：
(1)先找出顶点坐标，画出对称轴；
(2)找出抛物线上关于对称轴的四个点(如与坐标轴的交点等)；
(3)把上述五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来.
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时间：2023-07-27 17:42
1.二次函数的定义:y=ax^2+bx+c(a≠0)
2.图像和性质:
二次函数y=ax^2(a>0)的图像和性质;
二次函数y=ax^2(a<0)的图像和性质;
二次函数y=ax^2+bx+c(a>0)的图像和性质;
二次函数y=ax^2+bx+c(a<0)的图像和性质.
图像:列对应值描点作图法;
根据对称性作图法.
图像的开口方向,顶点坐标,与坐标轴的交点坐标.
性质:对称性,对称轴及方程;
单调性,单调区间;
最大值,最小值.
3.二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)三种形式及应用:
一般式:y=ax^2+bx+c(a≠0)
顶点式:y=a(x-r)^2+h
两点式:y=a(x-x1)(x-x2)
4.二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的平移变换
5.常用方法:
配方法.
待定系数法.
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