射影几何学的交比

发布网友发布时间：2022-04-23 14:01

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交比是一项基本的射影不变量。
根据关于射影对应的基本定理，一维基本形（例如，点列）间的一个射影对应是由三对对应元素惟一地确定的。由此可以推知，若在一个射影对应中，一个一维基本形中的四个元素□1,□2，□3，□4依次对应于另一个一维基本形中的 □则四元素组□1，□2，□3，□4和□必有某种共性。交比就是这样的共性。
设在一个一维基本形中，元素□□(□=1,2,3,4)的齐次坐标是□，而用(□□，□□)表示行列式
□则交比
□ (3)交比经过射影变换（例如投影或截影）不变。
若在一个一维基本形中，随意选取三个不同的固定元素□1,□2,□3，而对于任意元素□，设
□则□ 的位置和□ 的一切值（包括∞）一一对应。特殊地，当□=□□时，□=∞；□=□□时，□=0；□=□□时，□=1。因此，□可以作为基本形中的非齐次坐标。若再令 □=□1/□0，则(□0,□1)是基本形中的齐次坐标，称为射影坐标。特殊地，□1,□2,□3的坐标依次是(0,1),(1,0)和(1,1)。这三个元素叫做射影坐标系的基元素。
在欧氏空间,若□1,□2,□3,□4是四个共线点，而用□□□□表示由□□到□□的有向线段长，则
□　在欧氏平面，若□□，□□，□□，□□是经过同一点的四条直线，而用(□□□□)表示由□□到□□的有向角，则
□
四个元素有24种排列法，但对于一般位置的四个元素只有 6个不同的交比值，对于某种特殊位置的四个元素，则六个交比值中至少有两个相等。例如，当交比(□□，□□，□□，□□)=-1时，这四个元素称为构成调和组。这时□□和□□，□□和□□都可以对调，元素偶□□，□□和□□，□□也可以对调，而交比不变；而且元素的其他次序所对应的交比值都是2或1/2。这表明，对于构成调和组的四个元素，变动其排列次序，只有3个不同的交比值，即－1,2,1/2。当然，在射影相关的基本形中，调和组对应于调和组。
在调和组□□，□□，□□，□□里，□□也叫做□□对于□□，□□的共轭；已给□□，□□和□□，可以用直尺作图求□□。图4求□□对于□□□□的调和共轭□□的作图法表示，已给点列中任意三点□□，□□和□□，求□□对于□□，□□的调和共轭□□的作图法。注意□，□可以是经过□□□的任意直线上的任意两点。还可以看出，当□□趋于□□（或□□）时，□□也趋于□□（或□□）。因此，调和组中可以有三点重合。