射影几何学的正确入门方法是什么?
发布网友
发布时间：2022-04-23 14:01
共2个回答
热心网友
时间：2023-10-17 04:00
交比：给定四个点，A、B、C、D，那么，（A,B;C,D）=(AB·CD)/(AC·BD)就是这四个点的交比，换言之，就是“交叉比值”。
交比定理：射影变换保持交比不变。假设E是射影中心，直线m上的点A、B、C、D与E的连线交直线n于A'、B'、C'、D'。那么，（A,B;C,D）=（A',B';C',D'）。
下面，用面积法给出这个问题的证明，看图。
齐次坐标和对偶原理
如果一个点的Descartes坐标是(a/c,b/c)，那么齐次坐标是
(a/c,b/c,1)，也可以是(a,b,c)；只要这个比值相同，就始终代表同一个点。齐次坐标包括点坐标和线坐标，而且，齐次点坐标和齐次线坐标的外形是相同的，所以从代数学的角度看，点共线的对偶情形是线共点。这就是对偶原理的主要内容。
在我看来，齐次坐标的作用就是统一了对于点和线的操作。
二次曲线上的射影变换
这里，有一个非常深刻的结论：两个中心不重合的射影对应的线束，对应直线的交点的轨迹是一条经过两个中心的二次曲线。这是射影几何学里最重要的结论，它的证明过程，如果用代数的方法，是非常简洁的，这里不在赘述；不过作为补偿，用一个图例来演示一下：平面上，三个定点A、B、C，四条定直线（黑色的）；J、N分别是直线m、n上的动点，线束A(J)和B(N)是射影对应的；直线AJ交BN于P，那么当点J遍历直线m时，P的轨迹是一条经过A和B的二次曲线（图例中的二次曲线是椭圆）。
反过来，给定某条二次曲线上的定点A、B和动点P，那么，线束A(P)和B(P)是射影对应的。
配极变换和对偶原理
要了解配极变换，先要了解极点和极线的概念。极点和极线都是针对二次曲线而来的。
当点C位于二次曲线里面的时候，过C做二次曲线的任意两条弦DG、EF；设直线DF交EG于H，DE交FG于I；那么，对于这条二次曲线，C的极线是HI，HI的极点是C，极点和极线总是相互的。
当点C位于二次曲线上（或外面）的时候，是相对简单的，这里不提。
对偶原理在这里的体现是：如果点共线，那么这些点关于某条二次曲线的极线必共点；反之亦然。
不动点原理
任何一个射影变换，无论是点列、线束，还是二次曲线上的射影变换，都有不动点。而寻找不动点，是解决许多作图问题的重要途径。
看下图：给定二次曲线
f
上的两个定点M、N，定直线
u
交
f
于P、Q；A是
f
上的动点，直线AN交
u
于R，直线MR交
f
于A'；那么，从A到A'就是射影变换，A和A'是射影对应的关系，A的对应点是A'。如果A向M靠近，那么A'就向N靠近，这说明M的射影对应点是N。容易发现，P、Q是这个射影变换的不动点，即：P的对应点是P，Q的对应点是Q。
对合
这里说的对合，指的是射影变换里的对合。如果A到A'是一个射影变换，同时，A'的对应点是A，那么这个射影变换就是对合。
对合，只有两种基本形式：
倒数型：u·u'=k(k≠0)；
相反数型：u+u'=0。
热心网友
时间：2023-10-17 04:00
在射影几何里，把点和直线叫做对偶元素，把“过一点作一直线”和“在一直线上取一点”叫做对偶运算。在两个图形中，它们如果都是由点和直线组成，把其中一图形里的各元素改为它的对偶元素，各运算改为它的对偶运算，结果就得到另一个图形。这两个图形叫做对偶图形。在一个命题中叙述的内容只是关于点、直线和平面的位置，可把各元素改为它的对偶元素，各运算改为它的对偶运算的时候，结果就得到另一个命题。这两个命题叫做对偶命题。
这就是射影几何学所特有的对偶原则。在射影平面上，如果一个命题成立，那么它的对偶命题也成立，这叫做平面对偶原则。同样，在射影空间里，如果一个命题成立，那么它的对偶命题也成立，叫做空间对偶原则。
研究在射影变换下二次曲线的不变性质，也是射影几何学的一项重要内容。
如果就几何学内容的多少来说，射影几何学<
仿射几何学<
欧氏几何学，这就是说欧氏几何学的内容最丰富，而射影几何学的内容最贫乏。比如在欧氏几何学里可以讨论仿射几何学的对象(如简比、平行性等)和射影几何学的对象(如四点的交比等)，反过来，在射影几何学里不能讨论图形的仿射性质，而在仿射几何学里也不能讨论图形的度量性质。
