sinx的泰勒公式怎么推导的?

发布网友 发布时间：2023-02-12 11:32

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热心网友 时间：2023-05-16 09:59

是tanx = x+ (1/3)x^3 +....
不同，sinx是：sinx = x-(1/6)x^3+.....

常用泰勒展开式
e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+……

ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k + ……(|x|<1)

sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……。(-∞
cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-……+(-1)k*(x^(2k))/(2k)!+…… (-∞

arcsin x = x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ……(|x|<1)

arccos x = π - ( x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + …… ) (|x|<1)

arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 -……(x≤1)

独缺tanx 泰勒展开式。有好事者用sinx/cosx算出 tanx 泰勒展开式的前五项。

tanx=x+x^3/3+(2 x^5)/15+(17 x^7)/315+(62 x^9)/2835+O[x]^11
最后一项是余项,(|x|<π/2).

方法就是多项式的 竖式除法 ，只不过是把低次幂排在前面。
由于这个多项式的竖式除法很繁琐，我只弄了四项，足可帮助理解。

当|x|<π/4时，舍弃余项，误差较小。

当x＝π/4时， tanx=1，无须tanx 泰勒展开式。           

当π/41,误差很大。

这种情况要转换思路，令y=π/2-x,用10阶泰勒展开式算出tany，然后  tanx=1/tany

同理，当-π/2，然后  tanx=1/tany

所以， 当x＝π/4时， tanx泰勒展开式误差最大。

10阶五项 tan(π/4)＝0.99917，误差8.3/10000

6阶三项 tan(π/4)＝0.9867，误差 >1%

直接用sinx,cosx的泰勒展开式相除，分别取前三项

sin(π/4)=0.707143,     cos(π/4)=0.707429, sin(π/4)/ cos(π/4)=0.999595,  误差约4/10000 

对比可知，五项tanx的泰勒展开式比三项sinx/cosx的泰勒展开式误差还大，

并且π/4

所以 tanx泰勒展开式不常用。

不过，当 |x|<π/6时，tanx的泰勒展开式的误差还算小 ，可用。                           

扩展资料

1、展开三角函数y=sinx和y=cosx。

解：根据导数表得：f(x)=sinx,f'(x)=cosx,f''(x)=-sinx,f'''(x)=-cosx,f⑷（x)=sinx……

于是得出了周期规律。分别算出f(0)=0，f'(0)=1,f''(x)=0,f'''(0)=-1,f⑷=0……

最后可得：sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+x^9/9!-……（这里就写成无穷级数的形式了。）

类似地，可以展开y=cosx。

2、计算近似值e=lim x→∞ （1+1/x)^x。

解：对指数函数y=e^x运用麦克劳林展开式并舍弃余项：

e^x≈1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!

当x=1时，e≈1+1+1/2!+1/3!+……+1/n!

取n=10，即可算出近似值e≈2.7182818。

3、欧拉公式：e^ix=cosx+isinx（i为-1的开方，即一个虚数单位）

证明：这个公式把复数写为了幂指数形式，其实它也是由麦克劳林展开式确切地说是麦克劳林级数证明的。过程具体不写了，就把思路讲一下：先展开指数函数e^z，然后把各项中的z写成ix。

由于i的幂周期性，可已把系数中含有土i的项用乘法分配律写在一起，剩余的项写在一起，刚好是cosx,sinx的展开式。然后让sinx乘上提出的i，即可导出欧拉公式。有兴趣的话可自行证明一下。

参考资料：泰勒公式的百度百科