费马点 尽量用初中数学知识解答
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发布时间：2022-05-06 00:03
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热心网友
时间：2022-06-28 08:50
若P是三角形ABC内的一点,那么就分别过A点,B点,C点作PA,PB,PC的垂线,使之构成新的三角形，然后你就可以证明只有当PA,PB,PC每两条直线所成角为120度时,新的三角形是等边三角形，PA+PB+PC的和最小
(1)费马点对边的张角为120度。 △CC1B和△AA1B中,BC=BA1,BA=BC1,∠CBC1=∠B+60度=∠ABA1, △CC1B和△AA1B是全等三角形,得到∠PCB=∠PA1B 同理可得∠CBP=∠CA1P 由∠PA1B+∠CA1P=60度，得∠PCB+∠CBP=60度,所以∠CPB=120度 同理,∠APB=120度，∠APC=120度 (2)PA+PB+PC=AA1 将△BPC以点B为旋转中心旋转60度与△BDA1重合，连结PD，则△PDB为等边三角形，所以∠BPD=60度 又∠BPA=120度，因此A、P、D三点在同一直线上， 又∠CPB=∠A1DB=120度，∠PDB=60度，∠PDA1=180度，所以A、P、D、A1四点在同一直线上，故PA+PB+PC=AA1。 (3)PA+PB+PC最短 在△ABC内任意取一点M（不与点P重合），连结AM、BM、CM，将△BMC以点B为旋转中心旋转60度与△BGA1重合，连结AM、GM、A1G(同上)，则AA1<A1G+GM+MA=AM+BM+CM.所以费马点到三个顶点A、B、C的距离最短。
热心网友
时间：2022-06-28 08:51
直接以AC为边，向外做 等边三角形
以CB为边，向外做等边三角形
连接BB1、AA1 那个交点便是费马点
证明的话
只要说明 AP+BP+CP 最小即可
也就是证明AA1=AP+BP+CP（这个我想你应该了解）
AP已经在 AA1上了 所以只要证明PB+PC在PA1上
因为等边，所以 CP就直接等于 CB,AA1相交的那个点（就叫它M好了）
所以只要证明
三角形CPB ≌ 三角形CMA1 即可
证明过程就不写了.
参考资料：经验
