数学证明:三角形的外心,垂心,重心在同一直线上

发布网友发布时间：2022-05-05 20:08

共3个回答

热心网友时间：2022-06-28 00:54

设ΔABC的外心为O,取点M,使向量OA+OB+OC=OM;求证：M为ΔABC垂心,且此三角形的外心、垂心、重心在同一直线上

以o为圆心原点，设r=1
设A(cosa,sina),B(cosb,sinb),C(cosc,sinc)
则M(cosa+cosb+cosc,sina+sinb+sinc)
所以AM=(cosb+cosc,sinb+sinc)
BC=(csob-cosc,sinb-sinc)
AM.BC=cos^b-cos^c+sin^b-sin^2c=0
所以AM，BC垂直，
同理BM,AC垂直
所以
M为垂心
重心N：((cosa+cosb+cosc)/3,(sina+sinb+sinc)/3)
所以
OM=3ON
OMN在一条直线上

热心网友时间：2022-06-28 00:55

证明：
解析几何解法
已知有任意三角形ABC
建立平面直角坐标系
设A（0，0）　B（0，a）　C（b，c）
则重心M坐标：（(a＋b)／3，c／3）
AB上高线方程x＝b
AC上高线方程bx＋cy－ab＝0
则垂心H坐标：（b，(ab－b^2)／c）
AB边中垂线方程x＝a／2
AC边中垂线方程bx＋cy－（b^2＋c^2）／2＝0
则外心I坐标：（a／2，(b^2＋c^2－ab)／2c）
直线MH斜率
［c／3－(ab－b^2)／c］／［a＋b)／3－b］
＝（3ab－3b^2－c^2）／（2b－a）c
直线HI斜率
［(ab－b^2)／c－(b^2＋c^2－ab)／2c］／（b－a／2）
＝（3ab－3b^2－c^2）／（2b－a）c　
直线MH，直线HI斜率相同，则MHI三点共线
对于（3ab－3b^2－c^2）／（2b－a）c
A,当c＝0时ABC在一条直线上，不能构成三角形
B,当C≠0，且2b＝a时，斜率不存在，但ABC是等腰三角形
MHI三点在这个等腰三角形的顶角平分线（底边高线）上
所以　任意三角形的重心，垂心，外心在同一条直线上

热心网友时间：2022-06-28 00:55

楼上的大侠，你会把小朋友下坏的！好像有点麻烦哦！