什么是原问题和对偶问题?
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发布时间：2024-03-19 03:41
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时间：2024-03-20 11:05
原问题和对偶问题解的关系是：
对偶（min型）变量的最优解等于原问题松弛变量检验数的绝对值；对偶问题最优解的剩余变量解值等于原问题对应变量的检验数的绝对值；原问题和对偶问题是相互对偶的。
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什么是原问题和对偶问题？
原问题：
给定一个优化问题，其目标函数和约束条件以数学方程的形式给出，原问题就是要求解这个优化问题，找到最优解。原问题的形式可以是最大化或最小化，取决于目标函数是求最大值还是最小值。
例如，在线性规划中，原问题通常是最小化一组线性不等式约束下的线性目标函数。具体来说，原问题可以表示为：minimize cTx subject to Ax<=b，其中c是目标函数的系数向量，A是约束条件的系数矩阵，b是约束条件的右边界向量。
对偶问题：
对于一个给定的优化问题，如果我们把其约束条件看作是等式约束，那么原问题的对偶问题就是把原问题的约束条件颠倒过来，作为新的目标函数，而原问题的目标函数作为新的约束条件。
对偶问题通常用于解决一些难以求解的原问题，或者在原问题的解不唯一的情况下寻找其他可能的解。
例如，在线性规划中，对偶问题通常是最小化一组线性不等式约束下的线性目标函数。具体来说，对偶问题可以表示为：minimize-b'x subject to-A'x>=c'，其中A'是A的转置矩阵，c'是c的转置向量。
需要注意的是，不是所有的优化问题都有对偶问题。例如，对于一些非线性规划问题或者含有整数变量的优化问题，可能不存在对偶问题。此外，即使存在对偶问题，也不一定比原问题更容易求解。因此，在实际应用中，需要根据具体问题的特点来选择求解方法。
