求证:从一开始的n个连续自然数的立方和等于它们的和的平方。

发布网友发布时间：2022-05-06 00:45

共3个回答

热心网友时间：2022-06-28 10:06

对于任意整数i，有
（1+2+3+......+i)²
= ( (1+2+3+......+(i-1)) + i )²

= (1+2+3+......+(i-1))² + 2i(1+2+3+......+(i-1)) + i²

因为前n项和公式1+2+3+......+n=n（1+n)/2，代人，继续整理
= (1+2+3+......+(i-1))² + 2 i ( i(i-1)/2 ) + i²
= (1+2+3+......+(i-1))² + i ³
所以
（1+2+3+......+i)² - (1+2+3+......+(i-1))² = i ³
对i依次取1到n，列出各个等式，
1² - 0² =1 ³
（1+2)² - (1)² = 2 ³
（1+2+3)² - (1+2)² = 3 ³
... ... ... ...
（1+2+3+......+n)² - (1+2+3+......+(n-1))² = n ³
各个等式左右两边同时相加，相同项消去，得
（1+2+3+......+n)² - 0² = 1³+2³+3³+......+n³
即
（1+2+3+......+n)² = 1³+2³+3³+......+n³

热心网友时间：2022-06-28 10:07

学过数学归纳法了吗？

热心网友时间：2022-06-28 10:07

用数学归纳法