构造一个在实数域上仅在一点处连续的函数并叙述原因?

发布网友发布时间：2024-03-26 23:33

共2个回答

热心网友时间：2024-07-24 14:20

如 f(x)={ x (x为有理数)；0 (x 为无理数)，

只在 x=0 处连续。

原因当然是连续的定义。在 x=0 处满足，在 x≠0 处都不满足。

例如：

.x x≤0

f(x)= 1/x 0<x<2

x x≥2

以上分段函数，显然定义域为R

x=0为第二类间断点，因为左极限和函数值等于0，右极限为正无穷

x=2为第一类间断点，因为左极限为1/2，右极限为2，左右极限都存在但不相等

其它所有点为连续点，因为极限值等于函数值

扩展资料：

闭区间上的连续函数在该区间上一定有界。

所谓有界是指，存在一个正数M，使得对于任意x∈[a,b]，都有|f(x)|≤M。

证明：利用致密性定理：有界的数列必有收敛子数列。

反证法，假设f(x)在[a,b]上无上界，则对任意正数M，都存在一个x'∈[a,b]，使f(x')>M。

特别地，对于任意正整数n，都存在一个xn∈[a,b]，使f(xn)>n。

参考资料来源：百度百科-连续函数

热心网友时间：2024-07-24 14:24

如 f(x)={ x (x为有理数)；0 (x 为无理数)，
只在 x=0 处连续。
原因当然是连续的定义。在 x=0 处满足，在 x≠0 处都不满足。