...α′,证明⑴A^2=A等价于α′α=1;⑵α′α=1时,A不可逆

发布网友发布时间：2024-03-31 15:40

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热心网友时间：2024-07-24 05:38

1，先证A^2=A可以推出α‘α=1，由于A=αα'，则A^2=(αα')(αα')=α(α'α)α'，注意α’α是一个数，设为k，即k=α'α，则由A^2=A得kαα'=αα'，由于α为非零向量，故k=1。再证α‘α=1可以推出A^2=A，同理，直接由等式A^2=(αα')(αα')=α(α'α)α'=αα‘=A得到。综上二者是的等价的。
第二问的条件没有用，由r(AB)≤min{r(A),r(B)}，且r(α)=r(α')=1，可知r(A)≤1，而α为非零向量保证了A不是零矩阵，即r(A)≥1，因此r(A)=1。所以当n≥2时，矩阵A不是满秩的，自然不可逆，用不到条件α’α=1。另外题目最好加上条件n≥2，因为n=1时，A，α都是数，通常不讨论它们是否可逆，而如果一定要讨论，就只能看A是否等于0，由α≠0可知A≠0，所以n=1时A可逆。