如何讨论函数的连续性

发布网友 发布时间：2022-05-03 10:10

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热心网友 时间：2023-10-20 17:52

确切说来，函数在某点连续是指：当自变量趋于该点时，函数值的极限与函数在该点所取的值一致。

函数的连续性，描述函数的一种连绵不断变化的状态，即自变量的微小变动只会引起函数值的微小变动的情况。

连续函数的性质： 　　

① 如f(x)、g(x)都在x=α处连续，则f(x)±g(x)，f(x)g(x)， （只要 g( α)≠0)也在 x= α处 连续。 　

② 如f(x)在x=α处连续，且f(α)≠0，则必在x＝α的某一小δ邻域（即|x-α|＜δ）中，f(x)不变号，即f(x)与f(α)同号。 　　

③ 在闭区间上的连续函数，必有上界和下界，且有最大值和最小值，并能取最小值和最大值之间的一切中间值。

扩展资料：　　

还可证明，所有初等函数在其有定义的区间上都是连续的。 　　

设I为一闭或开的区间，如果任给ε>0，必有δ＞0存在，使对I中任何两点x，x′，只要|x-x′|＜δ，便有｜f(x)-f(x′)|＜ε，则称f(x)在I上一致连续。关于一致连续性有下面的重要定理：在闭区间上的连续函数一定在该区间上一致连续。这一定理有时称作康托尔定理

热心网友 时间：2023-10-20 17:52

这个是数学大纲解析的习题呢~解这一类的题，其实有个套路，就是先通过求极限将f(x)的表达式求出来就可以解啦~~步骤如下：

1、先求lim(1-x^2n/1+x^2n)x ，（n->∞）:
f(x)= 0 ， 当 x=0 或 x=±1
x , 当 0≤x＜1 或 x＜-1
-x ， 当 -1＜x≤0 或 x＞ 1 （共3种情况）

2、接着我们来找间断点：
通过上述的区间我们看出，“关键的点”有三个：0、1、-1；
(1)先看0：通过上面的区间可以看出，limf(0)=limf(x) (x->0+)=limf(x) (x->0-)
所以f(x)在（-1，1）都是连续的，0不是间断点；
(2)再看1：f(1)=0 , limf(x)(x->1-)=x=1 , limf(x)(x->1+)=-x=-1
f(1)≠limf(x)(x->1-)≠limf(x)(x->1+);所以x=1为第一类间断点;
(3)同理，-1：f(-1)=0 , limf(x)(x->-1-)=x=-1 , limf(x)(x->-1+)=-x=1
f(-1)≠limf(x)(x->-1-)≠limf(x)(x->-1+);所以x=-1为第一类间断点;

3、结论：x=1和x=-1是第一类间断点；f(x)的连续区间为(-∞,-1)、(-1,1)、(1,+∞) 如果对你有帮助，请给有用哦，谢谢追问没有问问题啊，不过貌似懂了，谢谢

热心网友 时间：2023-10-20 17:53

左右极限等于该点函数值，函数在x=0点连续。

热心网友 时间：2023-10-20 17:53

连续性？是单调性吧

热心网友 时间：2023-10-20 17:52

确切说来，函数在某点连续是指：当自变量趋于该点时，函数值的极限与函数在该点所取的值一致。

函数的连续性，描述函数的一种连绵不断变化的状态，即自变量的微小变动只会引起函数值的微小变动的情况。

连续函数的性质： 　　

① 如f(x)、g(x)都在x=α处连续，则f(x)±g(x)，f(x)g(x)， （只要 g( α)≠0)也在 x= α处 连续。 　

② 如f(x)在x=α处连续，且f(α)≠0，则必在x＝α的某一小δ邻域（即|x-α|＜δ）中，f(x)不变号，即f(x)与f(α)同号。 　　

③ 在闭区间上的连续函数，必有上界和下界，且有最大值和最小值，并能取最小值和最大值之间的一切中间值。

扩展资料：　　

还可证明，所有初等函数在其有定义的区间上都是连续的。 　　

设I为一闭或开的区间，如果任给ε>0，必有δ＞0存在，使对I中任何两点x，x′，只要|x-x′|＜δ，便有｜f(x)-f(x′)|＜ε，则称f(x)在I上一致连续。关于一致连续性有下面的重要定理：在闭区间上的连续函数一定在该区间上一致连续。这一定理有时称作康托尔定理

热心网友 时间：2023-10-20 17:52

这个是数学大纲解析的习题呢~解这一类的题，其实有个套路，就是先通过求极限将f(x)的表达式求出来就可以解啦~~步骤如下：

1、先求lim(1-x^2n/1+x^2n)x ，（n->∞）:
f(x)= 0 ， 当 x=0 或 x=±1
x , 当 0≤x＜1 或 x＜-1
-x ， 当 -1＜x≤0 或 x＞ 1 （共3种情况）

2、接着我们来找间断点：
通过上述的区间我们看出，“关键的点”有三个：0、1、-1；
(1)先看0：通过上面的区间可以看出，limf(0)=limf(x) (x->0+)=limf(x) (x->0-)
所以f(x)在（-1，1）都是连续的，0不是间断点；
(2)再看1：f(1)=0 , limf(x)(x->1-)=x=1 , limf(x)(x->1+)=-x=-1
f(1)≠limf(x)(x->1-)≠limf(x)(x->1+);所以x=1为第一类间断点;
(3)同理，-1：f(-1)=0 , limf(x)(x->-1-)=x=-1 , limf(x)(x->-1+)=-x=1
f(-1)≠limf(x)(x->-1-)≠limf(x)(x->-1+);所以x=-1为第一类间断点;

3、结论：x=1和x=-1是第一类间断点；f(x)的连续区间为(-∞,-1)、(-1,1)、(1,+∞) 如果对你有帮助，请给有用哦，谢谢追问没有问问题啊，不过貌似懂了，谢谢

热心网友 时间：2023-10-20 17:53

左右极限等于该点函数值，函数在x=0点连续。

热心网友 时间：2023-10-20 17:53

连续性？是单调性吧

热心网友 时间：2023-10-20 17:52

确切说来，函数在某点连续是指：当自变量趋于该点时，函数值的极限与函数在该点所取的值一致。

函数的连续性，描述函数的一种连绵不断变化的状态，即自变量的微小变动只会引起函数值的微小变动的情况。

连续函数的性质： 　　

① 如f(x)、g(x)都在x=α处连续，则f(x)±g(x)，f(x)g(x)， （只要 g( α)≠0)也在 x= α处 连续。 　

② 如f(x)在x=α处连续，且f(α)≠0，则必在x＝α的某一小δ邻域（即|x-α|＜δ）中，f(x)不变号，即f(x)与f(α)同号。 　　

③ 在闭区间上的连续函数，必有上界和下界，且有最大值和最小值，并能取最小值和最大值之间的一切中间值。

扩展资料：　　

还可证明，所有初等函数在其有定义的区间上都是连续的。 　　

设I为一闭或开的区间，如果任给ε>0，必有δ＞0存在，使对I中任何两点x，x′，只要|x-x′|＜δ，便有｜f(x)-f(x′)|＜ε，则称f(x)在I上一致连续。关于一致连续性有下面的重要定理：在闭区间上的连续函数一定在该区间上一致连续。这一定理有时称作康托尔定理

热心网友 时间：2023-10-20 17:52

这个是数学大纲解析的习题呢~解这一类的题，其实有个套路，就是先通过求极限将f(x)的表达式求出来就可以解啦~~步骤如下：

1、先求lim(1-x^2n/1+x^2n)x ，（n->∞）:
f(x)= 0 ， 当 x=0 或 x=±1
x , 当 0≤x＜1 或 x＜-1
-x ， 当 -1＜x≤0 或 x＞ 1 （共3种情况）

2、接着我们来找间断点：
通过上述的区间我们看出，“关键的点”有三个：0、1、-1；
(1)先看0：通过上面的区间可以看出，limf(0)=limf(x) (x->0+)=limf(x) (x->0-)
所以f(x)在（-1，1）都是连续的，0不是间断点；
(2)再看1：f(1)=0 , limf(x)(x->1-)=x=1 , limf(x)(x->1+)=-x=-1
f(1)≠limf(x)(x->1-)≠limf(x)(x->1+);所以x=1为第一类间断点;
(3)同理，-1：f(-1)=0 , limf(x)(x->-1-)=x=-1 , limf(x)(x->-1+)=-x=1
f(-1)≠limf(x)(x->-1-)≠limf(x)(x->-1+);所以x=-1为第一类间断点;

3、结论：x=1和x=-1是第一类间断点；f(x)的连续区间为(-∞,-1)、(-1,1)、(1,+∞) 如果对你有帮助，请给有用哦，谢谢追问没有问问题啊，不过貌似懂了，谢谢

热心网友 时间：2023-10-20 17:53

左右极限等于该点函数值，函数在x=0点连续。

热心网友 时间：2023-10-20 17:53

连续性？是单调性吧