如图,四棱锥P_ABCD的底面是ABCD正方形,PD垂直平面ABCD,E为PB上的点...

发布网友发布时间：2023-12-27 20:43

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热心网友时间：2024-06-10 02:09

解：(1)。证明：∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PD；连接BD，∵ABCD是正方形，
∴AC⊥BD；故AC⊥平面PDB；DE⊂平面PDB，∴AC⊥DE.
(2)。设底面正方形ABCD的两条对角线的交点为O。连接PO，EO；∵PD⊥平面ABCD，PD=PD，
AD=CD，∴RT△PDA≌RT△PDC，∴AP=CP，即△PAC是等腰三角形；O为AC的中点，故PO
⊥AC；又已证AC⊥平面PDB，EO⊂平面PDB，∴EO⊥AC；故∠POE就是二面角E—AC—P的平
面角。
∵PC=√2•BC=√2•CD，∴∠PCD=45°；设PD=CD=1，那么BD=√2；PB²=PD²+BD²=1+2=3；
PE=(2/3)PB=(2/3)√3；PO²=PD²+DO²=1+1/2=3/2；BE=(1/3)PB=(1/3)√3；BO=BD/2=√2/2；
cos∠PBD=BD/PB=√(2/3)；
EO²=BO²+BE²-2BO•BEcos∠PBD=1/2+(1/3)-2×(√2/2)×(√3/3)×√(2/3)=1/6；
故cos∠POE=(PO²+EO²-PE²)/(2PO×EO)=(3/2+1/6-4/3)/[2×√(3/2)×√(1/6)]=1/3.