若函数f(x)在[0,1]上可导,且f(0)=0,f(1)=1.证明:在[0,1]上至少存在两...
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发布时间：2023-12-25 18:02
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时间：2024-07-25 03:54
即函数f（x)在[0,1]上存在最大值及最小值
由f(0）=0，f(1)=1，不妨设最大值为f(1)=1，最小值为f(0）=0
则由介值定理知存在实数a∈[0,1]，使得f(a)=1/2(由于1/2在[0,1]之间)
由题意可知f(x)在[0,a]上连续，在(0,a)上可导及f(x)在[a,1]上连续，在(a,1)上可导
由拉格朗日中值定理得
存在x1∈[0,a],x2∈[a,1],使得f'(x1)=[f(a)-f(0)]/(a-0)=1/2a
f'(x2)=[f(1)-f(a)]/(1-a)=1/2(1-a)
两式取倒数和得
[1/f'(x1)]+[1/f'(x2)]=2a+2(1-a)=2
即在[0,1]上至少存在两个不同的点x1,x2.使[1/f'(x1)]+[1/f'(x2)]=2
至于[f'(x1)]+[f'(x2)]=2也是成立的
∵f（x)在[0,1/2]上连续，在在(0,1/2)上可导及f（x)在[1/2,1]上连续及f（x)在(1/2,1)上可导
∴由拉格朗日中值定理得
存在x1∈[0,1/2],x2∈[1/2,1],使得f'(x1)=[f(1/2)-f(0)]/(1/2-0)=2f(1/2)
f'(x2)=[f(1)-f(1/2)]/(1-1/2)=2[1-f(1/2)]
两式相加得[f'(x1)]+{f'(x2)]=2[f(1/2)+1-f(1/2)]=2
即在[0,1]上至少存在两个不同的点x1,x2，使得[f'(x1)]+{f'(x2)]=2
