高等数学函数极限的性质
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发布时间:2022-05-03 00:11
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时间:2022-07-01 02:53
函数极限是高等数学最基本的概念之一,导数等概念都是在函数极限的定义上完成的。函数极限性质的合理运用。常用的函数极限的性质有函数极限的唯一性、局部有界性、保序性以及函数极限的运算法则和复合函数的极限等等。
存在准则
有些函数的极限很难或难以直接运用极限运算法则求得,需要先判定。下面介绍几个常用的判定数列极限的定理。
1.夹*定理:(1)当(这是的去心邻域,有个符号打不出)时,有成立
(2),那么,f(x)极限存在,且等于A
不但能证明极限存在,还可以求极限,主要用放缩法。
2.单调有界准则:单调增加(减少)有上(下)界的数列必定收敛。
在运用以上两条去求函数的极限时尤需注意以下关键之点。一是先要用单调有界定理证明收敛,然后再求极限值。二是应用夹挤定理的关键是找到极限值相同的函数 ,并且要满足极限是趋于同一方向 ,从而证明或求得函数 的极限值。
3.柯西收敛准则
数列{Xn}收敛的充分必要条件是:对于任意给定的正数ε,总存在正整数N,使得当m>N,n>N时,且m≠n,有。我们把满足该条件的{Xn}称为柯西序列,那么上述定理可表述成:数列{Xn}收敛,当且仅当它是一个柯西序列。
方法
①利用函数连续性:
(就是直接将趋向值带入函数自变量中,此时要要求分母不能为0)
②恒等变形
当分母等于零时,就不能将趋向值直接代入分母,可以通过下面几个小方法解决:
第一:因式分解,通过约分使分母不会为零。
第二:若分母出现根号,可以配一个因子使根号去除。
第三:以上我所说的解法都是在趋向值是一个固定值的时候进行的,如果趋向于无穷,分子分母可以同时除以自变量的最高次方。(通常会用到这个定理:无穷大的倒数为无穷小)
当然还会有其他的变形方式,需要通过练习来熟练。
③通过已知极限
特别是两个重要极限需要牢记。
④采用洛必达法则求极限
洛必达法则是分式求极限的一种很好的方法,当遇到分式0/0或者∞/∞时可以采用洛必达,其他形式也可以通过变换成此形式。
洛必达法则:符合形式的分式的极限等于分式的分子分母同时求导。