数列与不等式的题目
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发布时间：2022-05-05 03:06
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时间：2022-07-01 08:17
2011年-高考数学-天津卷理-20-数列
已知数列{an}与{bn}满足
bn*an+a(n+1)+b(n+1)*a(n+2)=0，bn=(3+(-1)^n)/2，n∈n*，
且a1=2，a2=4.
(ⅰ)求a3,a4,a5的值；
(ⅱ)设cn=a(2n-1)+a(2n+1)，n∈n*，证明{cn}是等比数列；
(ⅲ)设sk=a2+a4+…+a(2k)，k∈n*，证明σ(k=1——4n)(sk/ak)<7/6（n∈n*）.
2010年-高考数学-天津卷理-22-数列
在数列{an}中，a1=0，且对任意k∈n*，a(2k-1),a(2k),a(2k+1)成等差数列，其公差为dk.
(ⅰ)若dk=2k，证明a(2k),a(2k+1),a(2k+2)成等比数列(k∈n*)；
(ⅱ)若对任意k∈n*，a(2k),a(2k+1),a(2k+2)成等比数列，其公比为qk.
(i)设q1不等于1，证明{1/(qk-1)}是等差数列；
(ii)若a2=2，证明3/2<2n-∑(k=2——n)(k^2/ak)<=2
(n>=2).
2008年-高考数学-辽宁卷理-21-数列
在数列{an}，{bn}中，a1=2，b1=4，且an,bn,a(n+1)成等差数列，bn,a(n+1),b(n+1)成等比数列（n∈n*）.
(1)求a2,a3,a4及b2,b3,b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论；
(2)证明：
1/(a1+b1)+1/(a2+b2)+…+1/(an+bn)<5/12.
2006年-高考数学-天津卷理-21-数列（改）
已知数列{xn}，{yn}满足x1=x2=1，y1=y2=2，并且
x(n+1)/xn=λ*(xn/x(n-1))，y(n+1)/yn>=λ*(yn/y(n-1))
（λ为非零参数，n=2,3,4,…）
(1)若x1,x3,x5成等比数列，求参数λ的值；
(2)当λ>0时，证明：x(n+1)/y(n+1)<=xn/yn（n∈n*）；
(3)当λ>1时，证明：
(x1-y1)/(x2-y2)+(x2-y2)/(x3-y3)+…+(xn-yn)/(x(n+1)-y(n+1))<λ/(λ-1)（n∈n*）；
(4)当0<1<λ时，证明：对于k>=3，
x(k+1)/x1+x(k+2)/x2+…+x(k+n)/xn<(λ^k)/(1-λ^k)（n∈n*）.
2002年-高考数学-全国卷理-22-数列
数列{an}满足a(n+1)=an^2-n*an+1，n∈n*.
(1)当a1=2时，求an；
(2)当a1>=3时，证明：
①an>=n+2，n∈n*；
②1/(1+a1)+1/(1+a2)+…+1/(1+an)<1/2，n∈n*.
2003年-高考数学-江苏卷-22-数列
如图，已知直线l：y=ax（a>0）及曲线c：y=x^2.c上的点q1的横坐标为a1（0<a1<a）.
从c上的点qn（n>=1）作直线平行于x轴，交直线l于点p(n+1)；再从点p(n+1)作直线平行于y轴，交曲线c于点q(n+1).
qn（n=1,2,…）的横坐标组成数列{an}.
(1)试求a(n+1)与an的关系，并求{an}的通项公式；
(2)当a=1，a1<=1/2时，证明：σ(k=1——n)((ak-a(k+1))*a(k+2))<1/32；
(3)当a=1时，证明：σ(k=1——n)((ak-a(k+1))*a(k+2))<1/3.
2007年-高考数学-四川卷理-21-数列
已知函数f(x)=x^2-4，设曲线y=f(x)在点(xn,f(xn))处的切线与x轴的交点为(x(n+1),0)（n∈n*），其中x1为正实数.
(ⅰ)用xn表示x(n+1)；
(ⅱ)若x1=4，记an=lg((xn+2)/(xn-2))，证明数列{an}成等比数列，并求数列{xn}的通项公式；
(ⅲ)若x1=4，bn=xn-2，tn是数列{bn}的前n项和，证明tn<3.
2006年-高考数学-江西卷理-22-数列
已知数列{an}满足：a1=3/2，且an=(3*n*a(n-1))/(2*a(n-1)+n-1)（n>=2，n∈n*）.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)证明：对于一切正整数n，不等式a1*a2*…*an<2*n!恒成立.
热心网友
时间：2022-07-01 08:18
x(n) - 1 = (-1/2)(x(n-1) - 1)^2 + 1/2，
因为
(根2) - 1 = (-1/2)((根2) - 1)^2 + 1/2，
上面的两式相减，消去1/2，再把右边因式分解，
x(n)-(根2) = (-1/2)[(x(n-1) - 1)^2 - ((根2) - 1)^2]
= (-1/2)((x(n-1) - (根2))(x(n-1) + (根2) - 2)。(★)
这个样子就差不多了，下面我们做估计。
我们断言：若1 < x(n-1) < 2，则1 < x(n) < 2。
事实上，0 < x(n-1) - 1 < 1，
x(n) = (-1/2)(x(n-1) - 1)^2 + 3/2 < 3/2 < 2，
x(n) = (-1/2)(x(n-1) - 1)^2 + 3/2 > (-1/2) + 3/2 > 1，
所以断言为真。
据此断言，以及 1 < x(1) < 2, 用数学归纳法就知道总有
1 < x(n) < 2。
因此 0 < (根2) - 1 < x(n-1) + (根2) - 2 < (根2)，
故| x(n-1) + (根2) - 2 |/2 < (根2)/2。
由(★)式，我们有
| x(n)-(根2)| < | x(n-1) - (根2)| * (根2)/2。
于是
| x(n)-(根2)| < | x(1) - (根2)| * ((根2)/2)^(n - 1)。
< 2 * ((根2)/2)^(n - 1)。
为使| x(n)-(根2)| < 1/32 = 1/2^5，
只要使 2 * ((根2)/2)^(n - 1) < 1/2^5，即n > 13.
所以只要取N = 13即可满足要求. (当然更大的N就更满足.)
ps:
直接打的，未经验算。数字可能有错，方法是每问题的。
希望对你有用。
热心网友
时间：2022-07-01 08:18
吗
题目有点晕，写清楚点
我可以给你解析下
X(n)=(1/2)[X(n-1)]^2 + X(n-1)+1
==> 2X(n)=[X(n-1)]^2 + 2X(n-1)+2
==> 2X(n)=[X(n-1)]^2 + 2X(n-1)+1 +1
===> 2X(n)= [X(n-1)+1]^2 +1
