设有两点P（3，x）Q（2，y）其中x+y=2，且x、 y∈R+，求P、Q到原点O距离之差最值xy？

发布网友发布时间：2022-05-05 07:04

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热心网友时间：2023-10-14 09:46

（Ⅰ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），
由题设条件可得x1x2+y1y2=0，将y=kx-1代入圆C：（x-1）2+y2=1得（1+k2）x2-2（1+k）x+1=0，
故有x1+x2＝
2+2k
1+k2
，x1x2＝
1
1+k2
，
又y1y2=（kx1-1）（kx2-1）=k2x1x2-k（x1+x2）+1=
k2
1+k2
−
2k+2k2
1+k2
+1=
1−2k
1+k2

∴
1−2k
1+k2
+
1
1+k2
=0，得k=1；
（Ⅱ）设P，Q两点的坐标为（X1，kX1-1），（X2，kX2-1）
则由圆C：（x-1）2+y2=1及直线l：y=kx-1
得（k2+1）x2-2（k+1）x+1=0
则X1•X2=
1
k2+1
，X1+X2=
2(k+1)
k2+1

则

MP
=（X1，kX1-1-b），

MQ
=（X2，kX2-1-b）
由MP⊥MQ则
X1•X2+（kX1-1-b）•（kX2-1-b）=0
即
2k2+2k
k2+1
＝(b+1)+
1
(b+1)

∵b∈(−
1
2
，1)，∴
1
2
＜b+1＜2，