二项式与杨辉三角之间有什么关系?
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发布时间：2023-12-10 05:47
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时间：2024-08-14 16:15
1 二项式定理与杨辉三角
与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律，即二项式定理。
杨辉三角我们首先从一个二次多项式 (a+b) 2 的展开式来探讨。
由上式得出： (a+b) 2 2+2ab+b 2 ＝a
此代数式的系数为： 1 2 1
则(a+b) 3 3+3a 2b+3ab 2+b 3 的展开式是什么呢？答案为： a
由此可发现， 此代数式的系数为： 1 3 3 1
但 4
似乎没有什么规律，所以让我们再来看看 (a+b)
的展开式。
展开式为： a 4+4a 3b+6a 2b2+4ab 3+b 4+4a 3b+6a 2b2+4ab 3+b 4
由此又可发现，代数式的系数为： 1 4 6 4 1 似乎发现了一些规律，就可以发现以下呈三角形的数列：
1 (11 0)
1 1 (11 1)
1 2 1 (11 2)
1 3 3 1 (11 3)
1 4 6 4 1 (11 4)
1 5 10 10 5 1 (11 5
)
1 6 15 20 15 6 1 (11 6)
杨辉三角形的系数分别为： 1,（1,1 ）,（1,2,1 ）,（1,3,3,1 ）,（1,4,6,4,1 ）（1,5,10,10,5,1 ）,（1,6,15,20,15,6,1 ）, （1,7,21,35,35,21,7,1 ）所以： (a+b) 7=a 7+7a 6 b+21a 5b 2+35a 4b 3+35a 3b 4+21a 2b 5+7ab 6+b 7。
由上式可以看出， (a+b) n 等于 a 的次数依次下降 n 、n-1 、n- 2? n -n ，b 的次数依次上升， 0、1、2? n 次方。系数是
杨辉三角里的系数。
2 杨辉三角的幂的关系
首先我们把杨辉三角的每一行分别相加，如下：
1 ( 1 )
1 1 ( 1+1=
2 )
1 2 1 (1+2+1=4 )
1 3 3 1 (1+3+3+1=8 )
1 4 6 4 1 (1+4+6+4+1=16 )
1 5 10 10 5 1 (1+5+10+10+5+1=3
2 )
1 6 15 20 15 6 1 (1+6+15+20+15+6+1=64 )
? ?
相加得到的数是 1，2， 4，8，16，32， 64，? 刚好是 2 的 0，1，2，3，4，5， 6，? n 次幂，即杨辉三角第n 行中 n 个数之和等于 2 的 n-1 次幂
3 杨辉三角中斜行和水平行之间的关系
(1)
1 (2) n=1
1 1 (3) n=2
1 2 1 (4) n=3
1 3 3 1 (5) n=4
1 4 6 4 1 (6) n=5
1 5 10 10 5 1 n=6
1 6 15 20 15 6 1
把斜行(1)中第7 行之前的数字相加得1+1+1+1+1+1+1=6
把斜行(2) 中第7 行之前的数字相加得1+2+3+4+5=15
把斜行(3) 中第7 行之前的数字相加得1+3+6+10=20
把斜行(4) 中第7 行之前的数字相加得1+4+10=15
把斜行(5) 中第7 行之前的数字相加得1+5=6
把斜行(6) 中第7 行之前的数字相加得 1
将上面得到的数字与杨辉三角中的第7 行中的数字对比，我们发现它们是完全相同的。
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
由上面可得：杨辉三角中n 行中的第i 个数是i-1 中前n-1 个数之和，即第n 行的数分别为1、(1) 中第n 行
之前的数字之和、(2) 中第n 行之前的数字之和、(3) 中第n 行之前的数字之和、(4) 中第n 行之前的数字之和、?、(n-3) 中第n 行之前的数字之和、1。
总结杨辉三角对于我们好理解的规律，如下六点：
1、每个数等于它上方两数之和。
2、每行数字左右对称，由 1 开始逐渐变大。
3、第n 行的数字有n+1 项。
4、第n 行数字和为2(n-1) 。（2 的(n-1) 次方）
5 (a+b) n 的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1) 行中的每一项。[1]
6、第n 行的第m个数和第n-m 个数相等，即C(n,m)=C(n,n-m) ，这是组合数性质
介绍：
杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现。在欧洲，帕斯卡（1623----1662）在1654年发现这一规律，所以这个表又叫做帕斯卡三角形。帕斯卡的发现比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年。
