复数的复数与几何
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发布时间：2022-05-02 13:29
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时间：2022-06-20 06:33
①几何形式
复数 被复平面上的点 z（a，b ）唯一确定。这种形式使复数的问题可以借助图形来研究。也可反过来用复数的理论解决一些几何问题。
②向量形式。复数z=a+bi用一个以原点O(0,0)为起点，点Z(a,b)为终点的向量OZ表示。这种形式使复数四则运算得到恰当的几何解释。
③三角形式。复数z=a+bi化为三角形式 z=r（cosθ+isinθ）
式中r=，是复数的模（即绝对值）
θ 是以x轴为始边，射线OZ为终边的角，叫做复数的辐角，辐角的主值记作arg(z)
这种形式便于作复数的乘、除、乘方、开方运算。
④指数形式。将复数的三角形式z=r( cosθ+isinθ）中的cosθ+isinθ换为，复数就表为指数形式
用直线将复平面内任一点z与N相连， 必与球面相交于P点，则球面上除N点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应的关系，而N点本身可代表无穷远点， 记作。 这样的球面称作复球面。
除了复数的平面表示方法外， 还可以用球面上的点来表示复数。
扩充复数域---引进一个“新”的数；
扩充复平面---引进一个“理想点”； 无穷远点 ∞。
约定：
，，，
，。
注： 若无特殊说明，平面均指有限复平面。
⑤复平面。由于一个复数z=x+iy由一对有序实数（x,y)唯一确定，所以对于平面上给定的直角坐标系，复数的全体与该平面上点的全体成一一对应关系，从而复数z=x+iy可以用该平面上坐标为（x,y)的点来表示，此时，x轴称为实轴，y轴称为虚轴，两轴所在的平面称为复平面或z平面。这样，复数与复平面上的点一一对应，并且把“点z”作为“数z”的同义词。 乘积与商
定理1 两个复数乘积的模等于它们的模相乘，两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加。
证明 设
则
因此，= 几何意义 将复数z1按逆时针方向旋转一个角度Argz2，再将其伸缩到|z2|倍。
定理1可推广到n 个复数的乘积。
定理2 两个复数的商的模等于它们的模的商，两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差。
复数的乘幂
定义 n个相同的复数z 的乘积，称为z 的n次幂，记作，即=（共n个）。
设z=，由复数的乘法定理和数学归纳法可证明
特别：当|z|=1时，即，
则有
一棣模佛(De Moivre)公式。
复数的方根
问题 给定复数，求所有的满足的复数ω。
复数运算的几何意义
复数a+bi、c+di分别对应复平面上以原点为起点的向量(a,b)与(c,d)。
两者相乘相当于如下变换：
在复平面上
将向量(a,b)伸长或缩短复数c+di的模倍，然后逆时针转过复数c+di辐角的度数，得到的新向量即是两复数
乘积对应的向量。
如：(1+i)*(1+i)=2i。将向量(1,1)伸长为复数1+i的模倍(即根2倍)，然后逆时针转过1+i的辐角度数(即45˙)，得到向量(0,2)，即乘积2i所对应的向量。
除法与乘法正好相反。
加法与减法的几何意义：复数对应的向量在复平面上进行平行四边形或三角形法则运算。
由此可见，复数的运算可以表示二维平面上的伸缩和旋转变换。 邻域：复平面上以z 0为中心，任意δ> 0为半径的圆| z -z 0|<δ(或0 <| z –z 0|<δ) 内部的点的集合称为点z 0 的δ（去心）邻域 。
设G是一平面上点集
内点：对任意z0属于G，若存在U(z 0 ,δ)， 使该邻域内的所有点都属于G，则称z 0是G的内点。
开集：若G内的每一点都是内点，则称G是开集。 区域：设D是一个开集，且D是连通的，称D是一个区域。
连通是指D中任意两点均可用完全属于D的折线连接。
边界与边界点：已知点P不属于D，若点P的任何邻域中都包含D中的点及不属于D的点，则称P是D的边界点；
闭区域 区域D与它的边界一起构成闭区域,记为Dˉ
有界区域与无界区域：若存在R > 0， 对任意z ∈D, 均有z∈G={z | |z|<R}，则D是有界区域；否则无界。 重点：设连续曲线C：z=z(t)，a≤t≤b，对于t1∈(a，b)， t2 ∈[a, b]，当t1≠t2时，若z(t1)=z(t2)，称z(t1)为曲线C的重点。
定义：称没有重点的连续曲线C为简单曲线或Jardan曲线;若简单曲线C 满足z(a)=z(b)时，则称此曲线C是简单闭曲线或Jordan闭曲线。
简单闭曲线的性质
任一条简单闭曲线 C：z=z(t)，t∈[a，b]，把复平面唯一地分成三个互不相交的部分：一个是有界区域，称为C的内部；一个是无界区域，称为C的外部；还有一个是它们的公共边界。
