晶体的种晶类
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发布时间：2022-05-02 12:59
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时间：2022-06-20 04:13
根据晶体中所可能出现的宏观对称要素种类，应用群论易于推导得出:在一切晶体中，总共只能有32种不同的对称要素集合方式，即32个晶类。这是由德国学者赫塞尔(J.F.Ch.Hessel)于1830年首先得出的。
在此将采用较为形象和直观的方式，亦即以某些对称要素为基础，然后依次以其他可能的对称要素与之进行组合，依据(3.5)式、(3.7)式～(3.17)式以及尤拉定理来导出晶体的32个晶类。它们可概括如表3.1所列。
表3.1 晶体的32个晶类
① 只适用于n 为奇数; ② 只适用于n 为偶数。( 罗谷风，1961、2008)
首先考虑高次轴不多于一个的情况。
Ln是最原始的方式，按费多罗夫研究所的命名(以下均同)称其为原始式。如果是Lni，就称为倒转原始式。然后在Ln或Lni的基础上增加适当的对称要素与之进行组合，以导出新的组合方式。在增加对称要素时，应保证不致产生多于一个的高次轴。因此，所增的对称要素将限于C、P或/和L2，且它们与Ln或Lni须成平行或垂直的关系。这样，在原始式的基础上便导出了中心式、轴式、面式和面轴式的新组合;而在倒转原始式的基础上则导出了倒转面式的新组合。根据(3.7)式～(3.17)式的关系式，在表3.1中列出了由这些组合所产生的对称要素集合的共同式。于是，依次以各个可能的具体轴次来代替共同式中的n(对Lni只考虑n=4，6)，并去掉重复(相当于表中的空格位置，如L3i≡L3C等)，即可得出27种不同的对称要素集合，即高次轴均不多于一个的27个晶类。
当然，也还可以有诸如Ln×P(⊥)、Lni×L2(⊥)等其他的组合方式，但它们的结果都不超出表3.1所列的27个晶类的范围。
下面讨论高次轴多于一个时的情况。根据尤拉定理之推理，可以将多个高次轴进行组合的可能性转化为有多少种正多面体的问题。在正多面体中，其每个正n边形的中心和每个m面角(由m个侧面所聚成的多面角)的顶点分别是Ln和Lm的所在。由于在凸多面体中，凸多面角的面角之总和必须小于360°，因此，在一切凸多面体中只能有五种正多面体存在，即:正四面体、立方体、正八面体、正十二面体和正二十面体(图3.8)，它们中存在的高次轴组合依次为4L3、3L44L3、3L44L3、6L510L3和6L510L3。但在这些组合中，高次轴的共存方式并不构成完整的对称要素集合，因为根据尤拉定理，在任一正多面体中每两个相邻L3的分角线上都还应有L2存在。因此，高次轴多于一个的纯粹对称轴的集合仅有三种:3L24L3、3L44L36L2和6L510L315L2。后者因涉及L5，只出现在准晶体中(参见3.6.1小节和10.3节)。
图3.8 五种正多面体及其对应的纯粹对称轴之集合
上述可在晶体中存在的含多个高次轴的两种集合中，3L24L3之各对称轴的空间取向相当于是:相互垂直的3L2平行于立方体的3组棱，4L3平行于立方体的4条体对角线(图3.9A);而3L44L36L2之3L4平行于立方体的棱，4L3仍平行于体对角线，6L2则平行于立方体的6组面对角线(图3.9B)。其中3L44L36L2集合可看成是在3L24L3的基础上，增加平行于面对角线方向的L2进行组合的结果。故3L24L3集合将被作为高次轴多于一个条件下的原始式。在它的基础上再增加可能的对称要素并与其组合，又可得出另四种新的对称型，如表3.1中末行所列。
图3.9 3L24L3组合(A)和3L44L36L2组合(B)中各对称轴的空间取向关系(罗谷风，2008)
在以上{3L24L3}×L→23L44L36L2的轴式组合中，所增的L2系与原始3L2中的一个垂直，与另两个均以45°相交。首先，根据尤拉定理之推理，新增的L2应共有6个，相当于分别平行立方体的6条面对角线方向分布;其次，由于L2(原始)∧L2(新增)=45°，于是根据(3.13)式，原始的3L2便全转变成3L4，导致了3L44L36L2的结果。对于面式组合，情况也完全类似，除共出现6个P外，新增的P之法线与原始的L2成45°交角，根据(3.15)式，原始的3L2相应地转变为3L4i，从而形成3L4i4L36P的集合。
这样，最终就得出了晶体中一切可能的32个不同的晶类。它们如表3.1所列。在38页的图3.10中示出了属于常见晶类的若干晶体实例及其对称要素在空间的配置关系。
