分数是怎样形成的?
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发布时间：2022-05-02 11:11
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时间：2022-06-19 16:19
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数的概念、数码的写法和十进制的形成都是人类长期实践活动的结果。
随着生产、生活的需要，人们发现，仅仅能表示自然数是远远不行的。如果分配猎获物时，5个人分4件东西，每个人人该得多少呢？于是分数就产生了。中国对分数的研究比欧洲早1400多年！自然数、分数和零，通称为算术数。自然数也称为正整数。
随着社会的发展，人们又发现很多数量具有相反的意义，比如增加和减少、前进和后退、上升和下降、向东和向西。为了表示这样的量，又产生了负数。正整数、负整数和零，统称为整数。如果再加上正分数和负分数，就统称为有理数。有了这些数字表示法，人们计算起来感到方便多了。
但是，在数字的发展过程中，一件不愉快的事发生了。让我们回到大经贸部2500年前的希腊，那里有一个毕达哥拉斯学派，是一个研究数学、科学和哲学的团体。他们认为"数"是万物的本源，支配整个自然界和人类社会。因此世间一切事物都可归结为数或数的比例，这是世界所以美好和谐的源泉。他们所说的数是指整数。分数的出现，使"数"不那样完整了。但分数都可以写成两个整数之比，所以他们的信仰没有动摇。但是学派中一个叫希帕索斯的学生在研究1与2的比例中项时，发现没有一个能用整数比例写成的数可以表示它。如果设这个数为X，既然，推导的结果即x2=2。他画了一个边长为1的正方形，设对角线为x ，根据勾股定理x2=12+12=2，可见边长为1的正方形的对角线的长度即是所要找的那个数，这个数肯定是存在的。可它是多少？又该怎样表示它呢？希帕索斯等人百思不得其解，最后认定这是一个从未见过的新数。这个新数的出现使毕达哥拉斯学派感到震惊，动摇了他们哲学思想的核心。为了保持支撑世界的数学大厦不要坍塌，他们规定对新数的发现要严守秘密。而希帕索斯还是忍不住将这个秘密泄露了出去。据说他后来被扔进大海喂了鲨鱼。然而真理是藏不住的。人们后来又发现了很多不能用两整数之比写出来的数，如圆周率 就是最重要的一个。人们把它们写成 π、等形式，称它们为无理数。
有理数和无理数一起统称为实数。在实数范围内对各种数的研究使数学理论达到了相当高深和丰富的程度。这时人类的历史已进入19世纪。许多人认为数学成就已经登峰造极，数字的形式也不会有什么新的发现了。但在解方程的时候常常需要开平方如果被开方数负数，这道题还有解吗？如果没有解，那数*算就像走在死胡同中那样处处碰壁。于是数学家们就规定用符号"i "表示"-1"的平方根，即i＝，虚数就这样诞生了。"i "成了虚数的单位。后人将实数和虚数结合起来，写成 a＋bi的形式（a、b均为实数），这就是复数。在很长一段时间里，人们在实际生活中找不到用虚数和复数表示的量，所以虚数总让人感到虚无缥缈。随着科学的发展，虚数现在在水力学、地图学和航空学上已经有了广泛的应用，在掌握和会使用虚数的科学家眼中，虚数一点也不"虚"了。
数的概念发展到虚和复数以后，在很长一段时间内，连某些数学家也认为数的概念已经十分完善了，数学家族的成员已经都到齐了。可是1843年10月16日，英国数学家哈密尔顿又提出了"四元数"的概念。所谓四元数，就是一种形如的数。它是由一个标量 （实数）和一个向量（其中x 、y 、z 为实数）组成的。四元数的数论、群论、量子理论以及相对论等方面有广泛的应用。与此同时，人们还开展了对"多元数"理论的研究。多元数已超出了复数的范畴，人们称其为超复数。
由于科学技术发展的需要，向量、张量、矩阵、群、环、域等概念不断产生，把数学研究推向新的高峰。这些概念也都应列入数字计算的范畴，但若归入超复数中不太合适，所以，人们将复数和超复数称为狭义数，把向量、张量、矩阿等概念称为广义数。尽管人们对数的归类法还有某些分歧，但在承认数的概念还会不断发展这一点上意见是一致的。到目前为止，数的家庭已发展得十分庞大。
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时间：2022-06-19 16:19
汉语分数表示法何以有这样多的表现形式？实在是在长期的历史发展中累积而形成的。语言的继承性和语言的发展，二者互相作用，造成了语言形式的多样化，使得语言丰富多彩。
汉语史的研究不能只在一个平面上作静态的描写。必须准确的探明各种语法形式发生、发展、消亡的历史，特别是表示同一语义内容的几种语法形式，是如何此消彼长的历史，这样才可以进一步研究语言发展变化的规律。
为此，我们想就先秦分数表示法的发展作些初步的探索，希望能够给汉语分数表示法诸种语言形式理清一下发生、发展、变化的大致时代。这不仅关系到汉语史，还关系到中国数学史，因为，目前所见的中国数学史有关这一方面的叙述也是不完备的。
然而，这个问题牵涉到先秦典籍（主要是诸子）的真伪和确切写定时代这样一个更为令人难以措手的问题。因此，倘若能找到一种写作时代和地域都较为明确的语言材料，用它来立起一个标准。在其中找出最普遍最主要的分数表现形式，然后根据它来上溯其源，下探其流，考察分数表示法的整个发展情况。或许可以把这令人咋舌的难题放过一边，不去多管它，而径直引用大多数研究者关于这个问题的较为通行的结论就行了。
1．1秦简的发现，似乎给解决这个问题带来了契机。一九七五年底在湖北云梦县睡虎地秦代墓葬中出土了大批竹简。这批竹简约一千一百余支，总字数三万到四万之间，竹简为墨书秦隶体。其所记录的文件和书籍的抄本，所从出的原本的时代，绝大多数为秦统一以前，上限在商鞅变法（公元前359年）以后，最晚为秦始皇廿年（前227年）。
秦简中的分数表现形式较为整齐划一，这对我们研究先秦分数表示法的发展变化更为有利。
秦简中出现的分数有如下两种情况。
1、数词〔，1〕＋分＋数词〔，2〕
（1）十牛以上而三分之一死（《睡虎地秦墓竹简》P33）（以下引文只注页码者皆出自此书）（2）度禾刍藁而不备其十分一以下。（P97）（二见）（3）过十分以上。（注：承（2）句省分子“一”）（4）县料而不备其见（现）数五分一以上。（P116）（5）十分一以到不盈五分一。（P116）
（6）百分一以到不盈十分一。（P117）
还有一例“分”字后出现动词“取”：（7）毋过三分取一。（P60）
2、数词〔，1〕＋分＋量词＋数词〔，2〕
（8）酱驷（四）分升一。（P101）（9）盐廿二分升二。（P103）（10）六分升一以上。
（P114）（11）廿分升一以上。（P114）
以上两种情况说明秦简中表示分数时具有较高的一致性。这两种情况实际上可以概括为一个方式：
（B）式：数词〔，1〕＋分（＋量词）＋数词〔，2〕
1．2有了（B）式，我们可以把它作为比较的基准点。可以用（B）式代表战国后期（公元前四世纪——公元前三世纪）秦国（或扩大一点〈*方言〉）的分数表示法。因为它是这时这地区最一般的形式。
当然，秦简中还有一种情况：
（12）食男子旦半夕三，女子三。（P53）（13）居官府公食者，男子三，女子驷。（P84）
上两句中的“半、三、驷（四）”作“半斗、三分斗、四分斗”理解，据秦简律文的规定，“半、三”都是法定的量制单位，所以本文不把这种情况作为一般的分数表示法处理。
2．0由于有了比较确切的可供比较的基准点，我们便上溯其源。
2．1据我们所见，有关甲骨卜辞的语法著述均未提到卜辞中有分数。陈梦家（1956、P109）
说：“卜辞所写的数字，最高者为三万，最小者为一，没有小于一的分数”。管燮初（1953、P33）
也说：“刻辞中的数词有基数和序数，还没有见过分数”。所以，这方面的情况只能暂付“阙如”。
2．2金文中的情况怎样呢？
管燮初《西周金文语法研究》中“分数”一节，仅举出一例：
（14）分宕其三，女则宕其二，公宕其二，汝则宕其一。（召伯虎簋）——语译作：止公宕欠其中三分，你就宕欠其中二分，止公宕欠其中二分你就宕欠其中一分。（《管书》P123）
此例亦见于周法高《中国古代语法》，分数表示法中的第七类：“母数为‘十’时，子数前可省略母数”。如补出分母，则为：“（什）三、（什）二、（什）一。”
我们把这种方式称为（A）式：数词〔，1〕＋数词〔，2〕。分母数如为“十”，常可省略。
这是汉语中分数表示法中最早最简略的形式了。产生的上限在公元前十一世纪至前九世纪。这种（A）
式在先秦典籍中写定年代早一些的作品中出现较多一些。
2．3至于东周以后乃至战国后期的金文铭辞中，情况和西周的不同。
（15）大良造鞅爰积十六尊五分尊一为升。（商鞅量）（16）齐五益六＠①半＠①四分＠①。（坪安君鼎·器）（17）一益十＠①半＠①四分＠①之冢（重）。（平安君鼎）
这几例和秦简中和（B）式一致，因为正是同一时期秦国的器物。这也从另一侧面证实了秦简中的分数表示法不是孤立的现象，确实可以作为这一时期代表形式。
3．0对先秦典籍，依学者们所确定的较为一致的写定年代之先后来看其中的分数表示法。
3．1《尚书》中未见分数
3．2再来看看《老子》、《论语》、《孟子》等诸子。
《老子·德经》（五十章）
（18）出生入死，生之徒十有三，死之徒十有三。而民之生，生而动，动皆之死地，亦十有三。
在分母和分子中间插进“有”（助词），可以说是（A）式的变式。
《论语》中，分数二见。
（19）三分天下有其二。（秦伯）（20）二，吾犹不足。（颜渊）（20）中的“二”，为什二之省略，是为（A）式。（19）这个例子，周法高列在第八类“其它”，（这一类最复杂，前七类所不收者，皆入此。）我们姑且称之为复杂形式，记为（F）式：
数词〔，1〕＋分＋名词＋有＋数词〔，2〕
它的产生时代亦较早，约在公元前六世纪至前五世纪。
《孟子》中，分数六见。
（21）耕者九一。（梁惠王下）（22）其实皆什一也。（滕文公上）（23）清野九一而助，国中什一使自赋。（同上）（24）什一，去关市之征。（滕文公上）（25）吾欲二十取一。（告子下）（26）故二十取一足也。（同上）
均为（A）式或（A）式的变式。这大概和孟老夫子喜称述古制有关。至《孟子》，仍是（A）式占优势。
《商君书》，只取确为商君所作之篇目论之。
（27）故王者刑九而赏一，削国赏九而刑一。（开塞）（28）地方百里者，山陵居什一，薮泽居什一，溪谷流居什一，都邑蹊道居什一，恶田居什二，良田居什四。（算地）
以上均为（A）式。然而商鞅之时（B）式当已确立，《商鞅量》可为证。
又“定分篇”，据高亨言，不是商鞅所作，文中有“丞相”字样，秦在商鞅死后三十年才设丞相。所以篇中一例分数，不同于前面的情况：
（29）夫不待法合绳墨，而无不正者，千万之一也。
不同于（A）式，也不同于（B）式。此一例缘何出现于此？有待于以后继续研究。
《韩非子》中，分数五见。
（30）故当世之重位，主变势而得固宠者，十无二三。（孤愤）（31）人主失力而能有国者，千无一人。（人主）（32）孝子爱亲，百数之一。（难三）（33）长行绚止，数不一人。（难三）（34）
而道乎百无一人之行。（难三）
（32）同前面的（29），中间插进“之”字，我们把它记为（C）式：
数词〔，1〕＋之＋数词〔，2〕
（C）式产生的时代，与（B）相近，当为战国时期。《韩非子》中另外几例，皆极言其少，于中间插进否定词，形成一种对应关系：十有二三——十无二三。均可视为（A）式的变式。
3．3至于《春秋》及三传，*部分未见分数。三传中，公、谷二传，一般认为成书在西汉，所以这里只论列《左传》中的情况。
《左传》中分数九见。
属于（C）式5例。
（35）大都不过三国之一，中五之一，小九之一。（隐元年）（36）其季于今三之一也。（襄公30年）（37）于舜之功二十之一也。（文18年）
属于复杂形式（F）2例。
（38）三分公室而各有其二。（襄11年）（39）十一分其室而以其五与之。（定10年）
属（A）式一例。
（40）民参其力，二入于公而衣食其一。（昭3年）
然而，还有一例则是全新的形式：（41）使以三分之一行。（哀8年）
我们把（41）中的分数记为（D）式：数词〔，1〕＋分＋之＋数词〔，2〕
这是自先秦以后直到现代，汉语分数的最主要、最常见的表现形式。可能是由（B）式和（C）式综合而来。
数〔，1〕＋分＋数〔，2〕数〔，1〕＋分＋之＋数〔，2〕
（归并）
（归并）
数〔，1〕＋之＋数〔，2〕
（归并）表示两式综合时，删除完全相同的部分。
然而《左传》中仅出现（D）式一例，是为孤证，因此，仍可以说，春秋及左传中的分数表示法主要是（C）式和（A）式，（D）式的大量出现是在与定时间比秦简要晚一些的典籍中。
3．4《荀子》中无分数。
《庄子》内篇中无分数。外篇及杂篇中八见，多为（A）式，如“寓言十九，重言十七”（寓言篇）；（D）式一见，“无万分之一”（在宥篇）。
《吕氏春秋》中二见，为（F）式。“三分所生，益之一分以上生，三分所生，去其一分以下生”。（季夏纪·音律）
3．5以上，我们已依写定时代之先后大致上对先秦典籍中的分数作了分析。可以说，凡在秦简之前写定的典籍中，分数形式多为（A）式；而与之写时代相去不远的典籍中，则为（B）式和（C）式，其中以（C）式为多见；已有产生最晚的（D）式出现。但均少见。《左传》和《庄子》各1例。而《庄子》外篇，一般认为写定在秦汉之际。所以，只有《左传》中唯一一例了，至于这一例的可靠性，目前还无法断定，暂时只能把它当作最早出现的（D）式了。
这样，已经可以看出先秦分数表示法是由（A）式发展到（B）式和（C）式，然后再发展到（D）式。至于复杂形式（F）式，则为（A）式与（B）、（C）式之间的过渡形式。
前面我们已经说明（A）（B）（C）三式产生、盛行的大致年代，但对（B）、（C）两者间孰先孰后，尚无法断定。（D）式的大量出现是在《管子》以后的典籍中，因此，（D）式的产生年代，下面还要再证明一番。
4．1先说说《墨子》中的情况。
陈直《〈墨子·备城门〉等篇与居延汉简》（《中国史研究》1980第一期P117）以汉简校《备城门》以下各篇，结论是“证明除《经上下》等四篇以外，其余各篇皆为战国末期下至秦代之作品。以其中的分数表现形式来看，和这结论也是一致的。
《墨子》中分数8见。
（C）式一见：（42）体若二之一尺之端。（经说·上）
（D）式六见，均在《经·上下》之外的诸篇中。
（43）损禄五分之一。（44）旱则损五分之二。（45）凶则损五分之三。（46）馈则损五分之四。（47）彻鼎食五分之五。（均见于《七患篇》）（48）失四分之一。（备城门）
（F）式一见：（49）甲兵之备，五分而得其一。（非攻下）
这样的分布，与陈直先生的结论决不是偶然的巧合。证明古今托古作伪者都无法摆脱其所处的语言环境的制约。也证明“从汉语史的角度来鉴定中国古籍的真伪以及它的写作年代应该是科学方法之一。”（杨伯峻《新建设》1957年8月号P38）
因此我们可以说（D）式发生稍晚一点，产生于公元前3世纪，但迅速取代了其它的几种形式，成为汉语分数表示法中最有生命力的形式。
4．2现在一般认为《管子》是战国后期至西汉初年的作品。其中的分数表现形式最是多样化。请看据《管子引得》所作的统计。
（A）式8见；（B）式3见；无C式；（F）式（8）见；（D）式27见。
其中，（D）式竟占46例分数中的58．7％。从这一个小小的语法形式来看，可以推断《管子》表现了较多的非管子所处时代的语言现象。因而《管子》一书很可能写定稍晚一些。另外，（B）式和（C）
式在典籍中的出现，似有互不干扰、分居井然的情况，是值得注意的。
4．3至于《周髀算经》，由于该书引用了《吕览》，所以至少是秦以后的作品，一般认为是西汉的。
据其中出现的分数多为（D）式，也说明它是秦汉间的作品。特别是如“九寸九分六分分之一。”这样最为繁复的形式，正是汉代作品中多见的。如《白虎通》、《汉书》等。这种最繁复的形式，是和（D）式同时产生的，其综合的方式也是（B）式和（C）式归并而成。
（B）式数〔，1〕＋分（＋量词）＋数〔，2〕
（C）式数〔，1〕＋之＋数〔，2〕
（D）式（变式）数〔，1〕＋分＋（＋量词）＋之＋数〔，2〕
可以看作（D）式的变式，因其繁复，在以后的语言发展历程中，逐渐被淘汰。
我们还可以看出，（B）式有两种可能：即有无量词，（D）式也有这样两种可能。这样的一致性反映出发展变化的脉络来。
5．0综上所述，我们不仅分析了先秦汉语分数发展的简史，而且把它们作了一番整理概括。众多的分数形式不再是杂乱无章的，它们本身原是极有规律的。
由于秦简中的分数表现形式的引导，我们对先秦分数表示法的发展作出了较为可信的探索：分数表示法是从（A）式到（B）式、（C）式再发展到（D）式。（D）式中的变式也是与（D）式同时产生的。往后的发展是量词在分数形式中的词序位置后移，也是一种归并，从而使（D）式成为汉语中最基本的表现形式：X分之X。
回答者：一欣伊意 - 魔法师 四级 12-1 19:28
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时间：2022-06-19 16:20
汉语分数表示法何以有这样多的表现形式？实在是在长期的历史发展中累积而形成的。语言的继承性和语言的发展，二者互相作用，造成了语言形式的多样化，使得语言丰富多彩。
汉语史的研究不能只在一个平面上作静态的描写。必须准确的探明各种语法形式发生、发展、消亡的历史，特别是表示同一语义内容的几种语法形式，是如何此消彼长的历史，这样才可以进一步研究语言发展变化的规律。
为此，我们想就先秦分数表示法的发展作些初步的探索，希望能够给汉语分数表示法诸种语言形式理清一下发生、发展、变化的大致时代。这不仅关系到汉语史，还关系到中国数学史，因为，目前所见的中国数学史有关这一方面的叙述也是不完备的。
然而，这个问题牵涉到先秦典籍（主要是诸子）的真伪和确切写定时代这样一个更为令人难以措手的问题。因此，倘若能找到一种写作时代和地域都较为明确的语言材料，用它来立起一个标准。在其中找出最普遍最主要的分数表现形式，然后根据它来上溯其源，下探其流，考察分数表示法的整个发展情况。或许可以把这令人咋舌的难题放过一边，不去多管它，而径直引用大多数研究者关于这个问题的较为通行的结论就行了。
1．1秦简的发现，似乎给解决这个问题带来了契机。一九七五年底在湖北云梦县睡虎地秦代墓葬中出土了大批竹简。这批竹简约一千一百余支，总字数三万到四万之间，竹简为墨书秦隶体。其所记录的文件和书籍的抄本，所从出的原本的时代，绝大多数为秦统一以前，上限在商鞅变法（公元前359年）以后，最晚为秦始皇廿年（前227年）。
秦简中的分数表现形式较为整齐划一，这对我们研究先秦分数表示法的发展变化更为有利。
秦简中出现的分数有如下两种情况。
1、数词〔，1〕＋分＋数词〔，2〕
（1）十牛以上而三分之一死（《睡虎地秦墓竹简》P33）（以下引文只注页码者皆出自此书）（2）度禾刍藁而不备其十分一以下。（P97）（二见）（3）过十分以上。（注：承（2）句省分子“一”）（4）县料而不备其见（现）数五分一以上。（P116）（5）十分一以到不盈五分一。（P116）
（6）百分一以到不盈十分一。（P117）
还有一例“分”字后出现动词“取”：（7）毋过三分取一。（P60）
2、数词〔，1〕＋分＋量词＋数词〔，2〕
（8）酱驷（四）分升一。（P101）（9）盐廿二分升二。（P103）（10）六分升一以上。
（P114）（11）廿分升一以上。（P114）
以上两种情况说明秦简中表示分数时具有较高的一致性。这两种情况实际上可以概括为一个方式：
（B）式：数词〔，1〕＋分（＋量词）＋数词〔，2〕
1．2有了（B）式，我们可以把它作为比较的基准点。可以用（B）式代表战国后期（公元前四世纪——公元前三世纪）秦国（或扩大一点〈*方言〉）的分数表示法。因为它是这时这地区最一般的形式。
当然，秦简中还有一种情况：
（12）食男子旦半夕三，女子三。（P53）（13）居官府公食者，男子三，女子驷。（P84）
上两句中的“半、三、驷（四）”作“半斗、三分斗、四分斗”理解，据秦简律文的规定，“半、三”都是法定的量制单位，所以本文不把这种情况作为一般的分数表示法处理。
2．0由于有了比较确切的可供比较的基准点，我们便上溯其源。
2．1据我们所见，有关甲骨卜辞的语法著述均未提到卜辞中有分数。陈梦家（1956、P109）
说：“卜辞所写的数字，最高者为三万，最小者为一，没有小于一的分数”。管燮初（1953、P33）
也说：“刻辞中的数词有基数和序数，还没有见过分数”。所以，这方面的情况只能暂付“阙如”。
2．2金文中的情况怎样呢？
管燮初《西周金文语法研究》中“分数”一节，仅举出一例：
（14）分宕其三，女则宕其二，公宕其二，汝则宕其一。（召伯虎簋）——语译作：止公宕欠其中三分，你就宕欠其中二分，止公宕欠其中二分你就宕欠其中一分。（《管书》P123）
此例亦见于周法高《中国古代语法》，分数表示法中的第七类：“母数为‘十’时，子数前可省略母数”。如补出分母，则为：“（什）三、（什）二、（什）一。”
我们把这种方式称为（A）式：数词〔，1〕＋数词〔，2〕。分母数如为“十”，常可省略。
这是汉语中分数表示法中最早最简略的形式了。产生的上限在公元前十一世纪至前九世纪。这种（A）
式在先秦典籍中写定年代早一些的作品中出现较多一些。
2．3至于东周以后乃至战国后期的金文铭辞中，情况和西周的不同。
（15）大良造鞅爰积十六尊五分尊一为升。（商鞅量）（16）齐五益六＠①半＠①四分＠①。（坪安君鼎·器）（17）一益十＠①半＠①四分＠①之冢（重）。（平安君鼎）
这几例和秦简中和（B）式一致，因为正是同一时期秦国的器物。这也从另一侧面证实了秦简中的分数表示法不是孤立的现象，确实可以作为这一时期代表形式。
3．0对先秦典籍，依学者们所确定的较为一致的写定年代之先后来看其中的分数表示法。
3．1《尚书》中未见分数
3．2再来看看《老子》、《论语》、《孟子》等诸子。
《老子·德经》（五十章）
（18）出生入死，生之徒十有三，死之徒十有三。而民之生，生而动，动皆之死地，亦十有三。
在分母和分子中间插进“有”（助词），可以说是（A）式的变式。
《论语》中，分数二见。
（19）三分天下有其二。（秦伯）（20）二，吾犹不足。（颜渊）（20）中的“二”，为什二之省略，是为（A）式。（19）这个例子，周法高列在第八类“其它”，（这一类最复杂，前七类所不收者，皆入此。）我们姑且称之为复杂形式，记为（F）式：
数词〔，1〕＋分＋名词＋有＋数词〔，2〕
它的产生时代亦较早，约在公元前六世纪至前五世纪。
《孟子》中，分数六见。
（21）耕者九一。（梁惠王下）（22）其实皆什一也。（滕文公上）（23）清野九一而助，国中什一使自赋。（同上）（24）什一，去关市之征。（滕文公上）（25）吾欲二十取一。（告子下）（26）故二十取一足也。（同上）
均为（A）式或（A）式的变式。这大概和孟老夫子喜称述古制有关。至《孟子》，仍是（A）式占优势。
《商君书》，只取确为商君所作之篇目论之。
（27）故王者刑九而赏一，削国赏九而刑一。（开塞）（28）地方百里者，山陵居什一，薮泽居什一，溪谷流居什一，都邑蹊道居什一，恶田居什二，良田居什四。（算地）
以上均为（A）式。然而商鞅之时（B）式当已确立，《商鞅量》可为证。
又“定分篇”，据高亨言，不是商鞅所作，文中有“丞相”字样，秦在商鞅死后三十年才设丞相。所以篇中一例分数，不同于前面的情况：
（29）夫不待法合绳墨，而无不正者，千万之一也。
不同于（A）式，也不同于（B）式。此一例缘何出现于此？有待于以后继续研究。
《韩非子》中，分数五见。
（30）故当世之重位，主变势而得固宠者，十无二三。（孤愤）（31）人主失力而能有国者，千无一人。（人主）（32）孝子爱亲，百数之一。（难三）（33）长行绚止，数不一人。（难三）（34）
而道乎百无一人之行。（难三）
（32）同前面的（29），中间插进“之”字，我们把它记为（C）式：
数词〔，1〕＋之＋数词〔，2〕
（C）式产生的时代，与（B）相近，当为战国时期。《韩非子》中另外几例，皆极言其少，于中间插进否定词，形成一种对应关系：十有二三——十无二三。均可视为（A）式的变式。
3．3至于《春秋》及三传，*部分未见分数。三传中，公、谷二传，一般认为成书在西汉，所以这里只论列《左传》中的情况。
《左传》中分数九见。
属于（C）式5例。
（35）大都不过三国之一，中五之一，小九之一。（隐元年）（36）其季于今三之一也。（襄公30年）（37）于舜之功二十之一也。（文18年）
属于复杂形式（F）2例。
（38）三分公室而各有其二。（襄11年）（39）十一分其室而以其五与之。（定10年）
属（A）式一例。
（40）民参其力，二入于公而衣食其一。（昭3年）
然而，还有一例则是全新的形式：（41）使以三分之一行。（哀8年）
我们把（41）中的分数记为（D）式：数词〔，1〕＋分＋之＋数词〔，2〕
这是自先秦以后直到现代，汉语分数的最主要、最常见的表现形式。可能是由（B）式和（C）式综合而来。
数〔，1〕＋分＋数〔，2〕数〔，1〕＋分＋之＋数〔，2〕
（归并）
（归并）
数〔，1〕＋之＋数〔，2〕
（归并）表示两式综合时，删除完全相同的部分。
然而《左传》中仅出现（D）式一例，是为孤证，因此，仍可以说，春秋及左传中的分数表示法主要是（C）式和（A）式，（D）式的大量出现是在与定时间比秦简要晚一些的典籍中。
3．4《荀子》中无分数。
《庄子》内篇中无分数。外篇及杂篇中八见，多为（A）式，如“寓言十九，重言十七”（寓言篇）；（D）式一见，“无万分之一”（在宥篇）。
《吕氏春秋》中二见，为（F）式。“三分所生，益之一分以上生，三分所生，去其一分以下生”。（季夏纪·音律）
3．5以上，我们已依写定时代之先后大致上对先秦典籍中的分数作了分析。可以说，凡在秦简之前写定的典籍中，分数形式多为（A）式；而与之写时代相去不远的典籍中，则为（B）式和（C）式，其中以（C）式为多见；已有产生最晚的（D）式出现。但均少见。《左传》和《庄子》各1例。而《庄子》外篇，一般认为写定在秦汉之际。所以，只有《左传》中唯一一例了，至于这一例的可靠性，目前还无法断定，暂时只能把它当作最早出现的（D）式了。
这样，已经可以看出先秦分数表示法是由（A）式发展到（B）式和（C）式，然后再发展到（D）式。至于复杂形式（F）式，则为（A）式与（B）、（C）式之间的过渡形式。
前面我们已经说明（A）（B）（C）三式产生、盛行的大致年代，但对（B）、（C）两者间孰先孰后，尚无法断定。（D）式的大量出现是在《管子》以后的典籍中，因此，（D）式的产生年代，下面还要再证明一番。
4．1先说说《墨子》中的情况。
陈直《〈墨子·备城门〉等篇与居延汉简》（《中国史研究》1980第一期P117）以汉简校《备城门》以下各篇，结论是“证明除《经上下》等四篇以外，其余各篇皆为战国末期下至秦代之作品。以其中的分数表现形式来看，和这结论也是一致的。
《墨子》中分数8见。
（C）式一见：（42）体若二之一尺之端。（经说·上）
（D）式六见，均在《经·上下》之外的诸篇中。
（43）损禄五分之一。（44）旱则损五分之二。（45）凶则损五分之三。（46）馈则损五分之四。（47）彻鼎食五分之五。（均见于《七患篇》）（48）失四分之一。（备城门）
（F）式一见：（49）甲兵之备，五分而得其一。（非攻下）
这样的分布，与陈直先生的结论决不是偶然的巧合。证明古今托古作伪者都无法摆脱其所处的语言环境的制约。也证明“从汉语史的角度来鉴定中国古籍的真伪以及它的写作年代应该是科学方法之一。”（杨伯峻《新建设》1957年8月号P38）
因此我们可以说（D）式发生稍晚一点，产生于公元前3世纪，但迅速取代了其它的几种形式，成为汉语分数表示法中最有生命力的形式。
4．2现在一般认为《管子》是战国后期至西汉初年的作品。其中的分数表现形式最是多样化。请看据《管子引得》所作的统计。
（A）式8见；（B）式3见；无C式；（F）式（8）见；（D）式27见。
其中，（D）式竟占46例分数中的58．7％。从这一个小小的语法形式来看，可以推断《管子》表现了较多的非管子所处时代的语言现象。因而《管子》一书很可能写定稍晚一些。另外，（B）式和（C）
式在典籍中的出现，似有互不干扰、分居井然的情况，是值得注意的。
4．3至于《周髀算经》，由于该书引用了《吕览》，所以至少是秦以后的作品，一般认为是西汉的。
据其中出现的分数多为（D）式，也说明它是秦汉间的作品。特别是如“九寸九分六分分之一。”这样最为繁复的形式，正是汉代作品中多见的。如《白虎通》、《汉书》等。这种最繁复的形式，是和（D）式同时产生的，其综合的方式也是（B）式和（C）式归并而成。
（B）式数〔，1〕＋分（＋量词）＋数〔，2〕
（C）式数〔，1〕＋之＋数〔，2〕
（D）式（变式）数〔，1〕＋分＋（＋量词）＋之＋数〔，2〕
可以看作（D）式的变式，因其繁复，在以后的语言发展历程中，逐渐被淘汰。
我们还可以看出，（B）式有两种可能：即有无量词，（D）式也有这样两种可能。这样的一致性反映出发展变化的脉络来。
5．0综上所述，我们不仅分析了先秦汉语分数发展的简史，而且把它们作了一番整理概括。众多的分数形式不再是杂乱无章的，它们本身原是极有规律的。
由于秦简中的分数表现形式的引导，我们对先秦分数表示法的发展作出了较为可信的探索：分数表示法是从（A）式到（B）式、（C）式再发展到（D）式。（D）式中的变式也是与（D）式同时产生的。往后的发展是量词在分数形式中的词序位置后移，也是一种归并，从而使（D）式成为汉语中最基本的表现形式：X分之X。
