六年级上册数学黄冈小状元圆的面积第二课时
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发布时间：2022-05-02 14:14
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时间：2022-06-20 10:39
圆是圆柱横断面的形状，圆柱是旋床旋出来的。正6×2ⁿ边形是棱柱横断面的形状，棱柱是削棱削出来的（n是自然数）。随着n的无穷大，正6×2ⁿ边形与圆只是接近、近似或相当于、但绝不等于。
因为圆柱是圆柱，棱柱是棱柱，棱柱无限削棱依然是棱柱。所以人们在实践中总结出“削的没有旋的圆”。为此，工人在加工车轴时，不准采用削棱的方式来洗轴。怎么能说“由正六边形在无限倍边就成圆呢”？
其实所谓的圆周率“π”原本是正6×2ⁿ边形上的周长与正6×2ⁿ边形上过中心点的对角线的比值，应叫正6×2ⁿ边率。所以无论从圆外切正六边形还是圆内接正六边形，在无限倍边推出的π与圆周长和面积无关。
原因是：2πR等于圆内接正6×2ⁿ边形的周长，必然小于圆周长；πR²等于圆外切正6×2ⁿ边形的面积，必然大于圆面积。存在着π要想满足2πR,就会背离πR²；π要想满足πR²,就会背离2πR的矛盾。如果πR²做为圆面积，那么难免“有失又有得”。
当把圆等分成若干个无限无穷小的扇面时，因为无限无穷小的扇面面积大于零，矩形的长为πR、宽又仅限于R，每个扇面在往矩形里面拼的过程中不准超出矩形的宽R。所以只能用这些扇面硬性等积拼成一个，上下两个边长都有齿状的“锯形”。只有“锯形”上的齿峰与齿峰直线连接构成对边平行的矩形时，这个矩形的面积才是πR²的面积。
“锯形”与矩形不同，“锯形”上下两个边长分别是由(半径两端的端点与端点并排)不在两条直线上的弧与折线相连成的波浪曲线。而矩形上下两个边长πR指的是两条平行的直线。因为曲线与直线的意义不同，所以“锯形”不具备矩形的意义。为此圆面积等积拼成的只是一个“锯形”面积，决不是矩形面积。反过来：只有这个“锯形”面积才能等积还原拼成圆面积。 因为πR²是一个矩形面积，圆面积等积拼成的是一个“锯形”面积。)锯形与矩形的长宽相对重叠时,会显示出:πR²大于圆面积S的原因是,“锯形”中的每个扇面的弧外与矩形的长之间不属于圆面积的“空位角”面积,通过πR²都给计算到圆面积里去了。随着π的取值：扇面无限无穷小，“空位角”也对应无限无穷小，但份数对应增多，总的“空位角”面积并没有减少，只是对每个扇面上的弧内与弦之间的“月牙”面积减少了，等分无限无穷小的扇面对“空位角”面积无关。再者每份无限无穷小的“空位角”面积始终大于面积的极限(零面积)。所以大于零面积的“空位角”永不消失，它给圆面积带来增大是永久的。
也就是说：只有圆面积S加上所有“空位角”的面积才够矩形面积πR²。
当重叠的矩形面积和“锯形”面积一同还原时，扇面与扇面拼成的是一个圆面积；每个扇面携带着“空位角”拼成的确是这个圆的外切正6×2ⁿ边形面积。
因为“任一个外切正6×2ⁿ边形面积都大于它内切圆面积”。所以πR²大于圆面积S。
为此，圆面积S等于πR²减去所有“空位角”面积。
不过πR²初期还存在着小于圆面积S，小于圆面积S的原因是：由于π取值无限，2πR又是圆内接正6×2ⁿ边形的周长“任一个正6×2ⁿ边形的周长都小于它外接圆的周长”πR必然不足于圆的半个周长，会导致扇面丢失。π取的位数越多，扇面丢失的就越少；π取的位数越少，扇面丢失的就越多。当π取一至两位数时,πR²比圆面积S还要少。说明此时丢失的扇面面积大于多余的所有“空位角”面积。扇面面积的丢失是可以随着π的无限取值找回来的。找回丢失的那些本是圆上的面积理所当然。不过越找πR²就越大于圆面积S。当π取三位数以上时，由于多余的“空位角”给圆面积带来增大，不等丢失的扇面完全找回,πR²就开始逐渐越来越大于圆面积S，所以πR²对圆面积来说：“有失又有得”。失去了不该失去的扇面；得到了不该得到的“空位角”。最终还是πR²>S。
为此，圆面积S等于πR²减去所有“空位角”面积再加上所有丢失的扇面面积。
对于圆内接正6×2ⁿ边形面积πr²来说：因为弦心距r的无穷大永远小于半径R，r在实际运算当中又是一个未知数。所以πr²不具备计算的已知条件。
因为πR²原本是圆外切正6x2ⁿ边形面积，必然大于圆面积。根据面积“软化”等积变形公理发现：如果圆面积是7a²，那么它的外切正方形面积就是9a²，为此推出"圆面积等于直径3分之1平方的7倍"圆面积公式： s=7(d/3)²。
