一道实数连续性公理的证明题

发布网友发布时间：2024-01-17 16:49

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热心网友时间：2024-01-22 07:17

反证法：若有理数c满足r<=c<=s对任意的r位于X，s位于Y成立。
注意到任一有理数的平方不会等于2，因此c^2<2或者c^2>2。当然c>0是肯定的。
不妨设c^2<2，于是c位于X。即有理数c满足c位于X，且对任意的r位于X，有r<=c。
但这是不可能的。因为此时必有(2-c^2)/(2c+1)>0，注意这是有理数，由有理数的稠密性
知道存在有理数r>0，使得0<r<min{(2-c^2)/(2c+1)，1}，于是可以验证(c+r)^2<2，
c^2+2cr+r^2<c^2+2cr+r=c^2+(2c+1)r<c^2+(2c+1)*(2-c^2)/(2c+1)=2，c+r位于X，但
此时c+r>c，矛盾。追问请问您一下，(2-c^2)/(2c+1)是怎么想到的呢？

追答就是解不等式(c+r)^2<2，2cr+r^2<2-c^2。此不等式不好解，但可预设r<1，因此
只要2cr+r<2－c^2成立，要证不等式就成立。现在2cr+r<2－c^2容易求解了。