已知abc 均为正实数 且a+b+c=1 求根号(a+1)+根号(b+1)+根号(c+1)的...

发布网友 发布时间：2024-01-14 23:54

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热心网友 时间：2024-03-18 19:54

[√(a+1) + √(b+1) + √(c+1)]²
=a+b+c+3+2[√(ab+a+b+1) +√(bc+b+c+1) +√(ac+a+c+1) ]

因为abc 均为正实数，所以（√a-√b)²≥0
∴√ab≤（a+b)/2

那么(ab+a+b+1)≤（a+b)²/4 +(a+b) +1
≤[(a+b）/2 +1]²
√(ab+a+b+1) ≤（a+b）/2 +1

同理√(bc+b+c+1)≤（c+b）/2 +1
√(ac+a+c+1)≤（a+c）/2 +1

所以[√(a+1) + √(b+1) + √(c+1)]²≤12

√(a+1) + √(b+1) + √(c+1)≤2√3

热心网友 时间：2024-03-18 19:57

(1)预备知识。柯西不等式：设a,b,c,x,y,z均为非0实数，则[a^2+b^2c^2]*[x^2+y^2+z^2]≥(ax+by+cz)^2.等号仅当a:x=b:y=c:z时取得。（2）解：由题设知：{[√(a+1)]^2+[√(b+1)]^2+[√(c+1)]^2}*(1^2+1^2+1^2)≥[√(a+1)+√（b+1）+√（c+1)]^2.即：[√(a+1)+√（b+1)+（c+1)]^2≤12.等号仅当a=b=c=1/3时取得。故[√(a+1)+√(b+1)+√(c+1)]max=2√3.

热心网友 时间：2024-03-18 19:50

∵
2√(a+1)·√(b+1)≤a+b+2,
2√(b+1)·√(c+1)≤b+c+2,
2√(c+1)·√(a+1)≤c+a+2,
相加，左边≤8,
∴[√(a+1)+√(b+1)+√(c+1)]^2
=a+b+c+3+2√(a+1)·√(b+1)+2√(b+1)·√(c+1)+2√(c+1)·√(a+1)
≤4+8=12，
∴最大值=2√3.

热心网友 时间：2024-03-18 19:49

呵呵,朋友,这种题我教你个小绝窍!绝对正确,让a,b,c都取相等的值,也就是都是三分之一!直接代入结果,答案是:2倍根号3(不好意思,手机打不出根号),这种题一般就是选择填空,按我的方法做绝对错不了!如果是大题的话,就麻烦啦,我说大概解法吧:把问题的式子平方,得到的式子里肯定有a+b+c和abc,前者已知得1,后者可知最大值得1/27,最后得的结果再开方就是我说的2倍根号3!希望对你有帮助!