线性代数题!! 数学达人和学霸帮帮我! 线代高手帮帮我! 我真的很想学习...

发布网友发布时间：2024-02-06 20:17

共2个回答

热心网友时间：2024-07-26 22:14

这个题目要用到一个结论：属于不同特征值的特征向量是线性无关的。对于本题来说，就是向量组α1,α2线性无关。
证明：反证法。假设α1+α2是矩阵A属于特征值λ的特征向量，则A(α1+α2)=λ(α1+α2)。所以λ(α1+α2)=A(α1+α2)=Aα1+Aα2=λ1α1+λ2α2，所以(λ-λ1)α1+(λ-λ2)α2=0。因为α1,α2是属于不同特征值的特征向量，所以α1,α2线性无关，所以λ-λ1=λ-λ2=0，所以λ1=λ2。矛盾。
所以α1+α2一定不是矩阵A的特征向量。

热心网友时间：2024-07-26 22:11

证明最关键的是把基本式子按顺序列出来，不要一下子就想看出答案，这需要经验，初学者不可能
用x1，x2表示向量吧
Ax1 = λ1x1
Ax2 = λ2x2
如果(x1+x2)也是特征向量，则
A(x1+x2)=λ(x1+x2)
而
A(x1+x2) = λ1x1 +λ2x2
所以 λ1x1 +λ2x2=λ(x1+x2)
所以(λ1-λ)x1 = (λ-λ2)x2
但是这不可能，因为上式成立只有两种情况
a) x1,x2同向
b) λ1-λ=λ-λ2 =0
但是他们都不可能，所以(x1+x2)绝对不可能是特征向量