...1)讨论f(x)的单调性(2)设函数Y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线为l...
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发布时间：2024-01-30 05:50
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时间：2024-07-24 04:48
当a≤0时，f′（x）≥0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增，
当a＞0时，令f′（x）=0，得x＝?a2（舍），x=a2．
当x∈(0，a2)时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈(a2，+∞)时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
综上，a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
a＞0时，f（x）在(0，a2)上单调递减，在(a2，+∞)上单调递增；
（2）由f（1）=1，f′（1）=2-a知，f（x）在点A（1，f（1））处的切线l的方程为：
y=（2-a）（x-1）+1．
∵l在点A处穿过函数y=f（x）的图象，
∴令h（x）=f（x）-[（2-a）（x-1）+1]=x2-alnx-[（2-a）（x-1）+1]．
则h（x）在x=1两边附近的函数值异号，则x=1不是函数的极值点．
而h′(x)＝2x?ax?(2?a)＝(2x+a)(x?1)x．
若1≠?a2，则x=1和x=?a2都是函数的极值点，
∴1=?a2，即a=-2；
（3）由题意知方程x2-alnx-ax=0有唯一实数解，
设g(x)＝2x?ax?a＝2x2?ax?ax．
令g′（x）=0，解得x1＝a?a2+8a4（舍），x2＝a+a2+8a4．
当x∈（0，x2）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
当x∈（x2，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增．
∴当x=x2时，g（x）取得最小值g（x2）．
则要使方程f（x）=ax有唯一实数解，只有g′(x)＝0g(x)＝0，
即2x22?ax2?a＝0x22?alnx2?ax2＝0，即2alnx2+ax2-a=0．
∵a＞0，
∴2lnx2+x2-1=0．
设u（x）=2lnx+x-1，则x＞0时，u′(x)＝2x+1＞0，u（x）单调递增，
∴u（x）至多有一解，
又∵u（1）=0，
∴方程2alnx2+ax2-a=0的解为x2=1．
即a+a2+8a4＝1，解得a=1．
