设向量组b可以由a1,a2,……,ar线性表示,但不能由a1,a2,……,ar-1线 ...

发布网友发布时间：2024-02-01 20:38

共2个回答

热心网友时间：2024-03-01 13:11

因为 b可以由a1,a2,……，ar
所以向量组{a1,a2,……，ar-1,b} 可由向量组{a1,a2,……，ar-1,ar} 线性表示

且存在k1,...,kr 满足 b = k1a1+...+kr-1ar-1+krar
由于 b 不能由a1,a2,……，ar-1线性表示
所以 kr≠0
所以 ar = (1/kr)(b - k1a1- ... -kr-1ar-1)
故 ar 可由向量组{a1,a2,……，ar-1,b} 线性表示

故两个向量组等价.

热心网友时间：2024-03-01 13:07

因为β可由向量组α1,α2,..,αr线性表示
所以存在一组数 k1,k2,...,kr 使得
β = k1α1+k2α2+...+kr-1αr-1+krαr
1. 反证.
如果 αr 可由 α1,α2,...,αr-1 线性表示
设 αr=t1α1+t2α2+...+tr-1αr-1
则 β = k1α1+k2α2+...+kr-1αr-1+krαr
= k1α1+k2α2+...+kr-1αr-1+kr(t1α1+t2α2+...+tr-1αr-1)
即β可由向量组α1,α2,..,αr-1线性表示
这与已知矛盾!
所以αr 不能由 α1,α2,...,αr-1 线性表示.

2.
又因为β不能由向量组α1,α2,..,αr-1线性表示
所以 kr≠0
所以 αr=(1/kr)β-(k1/kr)α1-(k2/kr)α2-...-(kr-1/kr)αr-1
所以 αr 可由α1,α2,...,αr-1,β线性表示