r( A^ TA)= r( A)吗?

发布网友发布时间：2024-04-08 21:44

共1个回答

热心网友时间：2024-04-09 06:46

A是实矩阵就可以实矩阵是指A中元素都是实数不一定是对称矩阵，此时r（A^TA）=r（A）证明方法是用齐次线性方程组AX=0与A^TAX=0.
秩（rank）是矩阵的一个重要概念，表示矩阵中线性无关的行或列的最大个数。对于矩阵A和它的转置矩阵A的转置（记作A^T），有如下结论：
当A是一个m×n的矩阵时，A的秩（记作r（A））等于A乘A的转置（AA^T）的秩（记作r（AA^T））。同时，AA^T也是一个m×m的矩阵。
这个结论可以通过线性代数中秩的定义和矩阵乘法的性质来证明。
设A是一个m×n的矩阵，B是一个n×m的矩阵。矩阵乘积C=AB是一个m×m的矩阵。
根据秩的定义，r（A）是A中线性无关的行或列的最大个数，r（AA^T）是AA^T中线性无关的行或列的最大个数。
对于矩阵乘积C=AB，根据矩阵乘法的性质，C的行向量是A的行向量与B的列向量的线性组合。当C的行向量线性无关时，其线性无关的行的最大个数等于r（C）。
现在考虑C=AA^T，它的行向量是A的每一行与A^T的每一列的点乘结果。由于矩阵转置后的行向量等于原矩阵的列向量，所以C的行向量等于A的每一行与A的每一列的点乘结果。因此，C的行向量的线性无关性与A的行向量的线性无关性相同。
因此，r（A）=r（C）=r（AA^T），所以A的秩等于A乘A的转置的秩。
这个结论在线性代数中经常被使用，它与矩阵的内积和正定性等概念密切相关，并在各种应用中得到广泛的应用。