e^|z|在半径为1的球心在(0,0,0)球体内的三重积分

发布网友发布时间：2024-04-04 00:00

共1个回答

热心网友时间：2024-04-09 13:46

你提了一个好问题。这里的被积函数是e^z，它不包含x和y。这个被积函数不因x和y的取值而变化。也就是说，对于某个给定的z，e^z可看着是一个常数。在对dxdy积分时，可将e^z提到x，y积分号的外面。这样可将x和y的积分先做出来。可是对于某个给定的z，在这个球上所截的一个圆面的半径是不同的。这样dxdy的积分区域是一个z的函数。也就是说，x，y的积分区域或积分限与z有关。这样，当你做出x，y的积分后，代入含z的积分限即可。（请注意这里有关被积函数和积分区域的差别。有时容易混淆。由于此题中被积函数不包括x和y，你可以先将被积函数提到x，y的积分号外，并先对x，y积分，然后代入含z的积分限）。在写积分时，积分∫e^zdz∫∫dxdy实际表示是：
=∫∫∫e^zdxdydz=∫e^z(∫∫dxdy)dz
一般为书写上的方便，可写成∫e^zdz∫∫dxdy。将x，y的积分左后，再放到被积函数里。这就是下面的做法。希望这些解释对你有所帮助。
在整个球体上的三重积分等于e^z在这个球体上的积分或2e^z在上半球球体上的积分。下面是对上半球的积分。结果乘2后就得到最后的答案。
e^|z|在半径为1,球心在（0,0,0）的上半球内的三重积分是：
I=∫∫∫e^zdxdydz=∫e^zdz∫∫dxdy
其中：∫∫dxdy的积分域是z某个常数的平面与这个球面的圆形区域，
即x²+y²=1-z²。积分∫∫dxdy就是这个圆形区域的面积。其面积就是πx²（或πy²）。代入积分式中后得：
I=(下限0，上限1）∫(πx²e^z)dz
x和z满足的方程是y=0的平面和这个球面所形成的圆，即：
x²+z²=1，或x²=1-z²。将积分式中的x²用1-z²取代后得：
I=(下限0，上限1）∫π（1-z²）e^zdz
=(下限0，上限1）π(2ze^z-z²e^z-e^z)
=π[(2e-e-e)-(0-0-1)]=π