如果f在(a,b)上一致连续,证明f在(a,b)上有界
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发布时间：2024-04-13 15:52
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时间：2024-04-19 03:59
这里只x→a+的情况，另一边一样的。
由于f(x)一致连续，所以任意给ε>0,存在δ>0
当 |s-t|<δ时有
|f(s)-f(t)|<ε
对于任意一个序列an→a，存在自然数N，当n>N时
有|an-a|<δ/2
这时对，所有的m,n>N,有
|am-an|=|am-a-(an-a)|<=|an-a|+|am-a|<δ
所以|f(am)-f(an)|<ε
这说是f(an)是一个柯西列。所以n→∞，an→a时，f(an)收敛。
由an的任意性，和海涅归结原理.f(x)在左端点有右极限。
构造g(x)如下
g(x) = lim f(x) (x→a) x=a
g(x) = f(x) x∈(a,b)
g(x) = lim f(x) (x→b) x=b
显然g(x)在[a,b]上连续，所以[a,b]有界
f(x)是g(x)更小的(a,b)上的取值，所以有界。
