已知二次函数f(x)=x 2 -mx+m-1(m∈R).(1)函数在区间[-1,1]上的最小...
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发布时间:2024-04-11 01:53
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时间:2024-04-11 20:27
(1)f(x)=x 2 -mx+m-1= (x- m 2 ) 2 - m 2 4 +m-1 ,对称轴为x= m 2 .
①若 m 2 <-1,即m<-2 ,此时函数f(x)在区间[-1,1]上单调递增,所以最小值g(m)=f(-1)=2m.
②若 -1≤ m 2 ≤1,即-2≤m≤2 ,此时当x= m 2 时,函数f(x)最小,最小值g(m)=f( m 2 )= - m 2 4 +m-1 .
③若 m 2 >1,即m>2 ,此时函数f(x)在区间[-1,1]上单调递减,所以最小值g(m)=f(1)=0.
综上g(m)= 2m,m<-2 - m 2 4 +m-1,-2≤m≤2 0,m≥2 .
(2)由(1)知g(m)= 2m,m<-2 - m 2 4 +m-1,-2≤m≤2 0,m≥2 .
当m<-2时,g(m)=2m<-4,
当-2≤m≤2,g(m)= - m 2 4 +m-1 = - 1 4 ( m 2 -4m)-1=- 1 4 (m-2) 2 -2 ≤-2
当m≥2时,g(m)=0.
综上g(m)的最大值为0.
(3)要使函数y=|f(x)|在[2,4]上是单调增函数,则f(x)在[2,4]上单调递增且恒非负,或单调递减且恒非正,
∴ m 2 ≤2 f(2)≥0 或 m 2 ≥4 f(2)≤0 ,
所以 m≤4 f(2)=3-m≥0 或 m≥8 f(2)=3-m≤0 ,
解得m≤3或m≥8.