设二次函数f(x)=mx 2 +nx+t的图象过原点,g(x)=ax 3 +bx-3(x>0),f...
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发布时间：2024-04-11 01:53
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时间：2024-04-11 20:21
则f′(0)=n=0，f′（-1）=-2m+n=-2，
从而n=0，m=1，
∴f(x)=x 2 ， ，
由f(1)=g(1)，f′(1)=g′(1)，得a+b-3=1，3a+b=2，
解得a=-1，b=5，
∴ 。
(2) ，
求导数得 ，
∴F(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，
从而F(x)的极小值为F(1)=0．
(3)因f(x)与g(x)有一个公共点(1，1)，而函数f(x)在点(1，1)的切线方程为y=2x-1，
下面验证 都成立即可．
由 得 ，知f(x)≥2x-1恒成立；
设h（x）=-x 3 +5x-3-（2x-1），即h(x)=-x 3 +3x-2（x＞0），
求导数得h′(x)=-3x 2 +3=-3(x-1)(x+1)(x＞0)，
∴h（x）在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，
所以h（x）= -x 3 +5x-3-（2x-1）的最大值为h(1)=0，
所以-x 3 +5x-3≤2x-1恒成立，
故存在这样的实常数k和m，且k=2，m=-1。
