设f(x)在R上有定义,且y=f(x)的图形关于直线x=1与x=2对称,证明:f(x...

发布网友 发布时间：2024-03-07 22:13

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热心网友 时间：2024-03-19 19:50

设f(x)在R上有定义,且y=f(x)的图形关于直线x=1与x=2对称,证明：f(x)是周期函数，并求f(x)的一个正周期。
证明：由函数对称性可知，对于任何函数y=f（x）：若满足f(a+x)-f(b-x)=0,
则，此函数关于直线x=(a+x)/2+(b-x)/2=(a+b)/2对称。
∵f(x)的图形关于直线x=1与x=2对称
∴(a+b)/2=1==>a+b=2，令a=0，则b=2；==>f(x)=f(2-x)
(a+b)/2=2==>a+b=4，令a=0，则b=4；==>f(x)=f(4-x)
∴f(2-x)= f(4-x)
令x=2-x
则f(2-(2-x))= f(4-(2-x))==>f(x)=f(x+2)
∴函数f(x)是以2为最小正周期的周期函数

热心网友 时间：2024-03-19 19:50

简洁一点：因为f（x）＝f（2－x），f（2＋x）＝f（2－x），所以：f（x）＝f（x＋2），是周期函数，正周期为2。

热心网友 时间：2024-03-19 19:46

关于直线x=1对称,则f(x+2)=f(-x)
关于直线x=2对称,则f(x+4)=f(-x)
所以,f(x+2)=f(x+4),即f(x)=f(x+2)
所以函数是周期函数,2是它的一个正周期.

热心网友 时间：2024-03-19 19:51

关于直线x=1对称,则f(x+2)=f(-x)
关于直线x=2对称,则f(x+4)=f(-x)
所以,f(x+2)=f(x+4),即f(x)=f(x+2)
所以函数是周期函数,2是它的一个正周期.

设f(x)在R上有定义,且y=f(x)的图形关于直线x=1与x=2对称,证明：f(x)是周期函数，并求f(x)的一个正周期。
证明：由函数对称性可知，对于任何函数y=f（x）：若满足f(a+x)-f(b-x)=0,
则，此函数关于直线x=(a+x)/2+(b-x)/2=(a+b)/2对称。
∵f(x)的图形关于直线x=1与x=2对称
∴(a+b)/2=1==>a+b=2，令a=0，则b=2；==>f(x)=f(2-x)
(a+b)/2=2==>a+b=4，令a=0，则b=4；==>f(x)=f(4-x)
∴f(2-x)= f(4-x)
令x=2-x
则f(2-(2-x))= f(4-(2-x))==>f(x)=f(x+2)
∴函数f(x)是以2为最小正周期的周期函数

简洁一点：因为f（x）＝f（2－x），f（2＋x）＝f（2－x），所以：f（x）＝f（x＋2），是周期函数，正周期为2。