求幂级数的和函数问题!急求解答!

发布网友发布时间：2024-03-04 08:32

共2个回答

热心网友时间：2024-03-08 00:24

令f=∑ (-1)^(n+1)n^2x^n
那么有，
f/x=∑ (-1)^(n+1)n^2x^(n-1)
同积分
∫(0,x) f(t)/t dt
=∫(0,x) ∑ (-1)^(n+1)n^2t^(n-1) dt
=∑ n*(-1)^(n+1) * ∫(0,x) n*t^(n-1) dt
=∑ n*(-1)^(n+1) * x^n
再令g=∑ n*(-1)^(n+1) * x^n
那么有，
g/x=∑ n*(-1)^(n+1) * x^(n-1)
同积分
∫(0,x) g(t)/t dt
=∫(0,x) ∑ n*(-1)^(n+1) * x^(n-1) dt
=∑ ∫(0,x) n*(-1)^(n+1) * x^(n-1) dt
=∑ (-1)^(n+1) * ∫(0,x) n*x^(n-1) dt
=∑ (-1)^(n+1) * x^n
=x-x^2+x^3-……
=x/(1+x)
于是，
g(x)/x=[x/(x+1)]'=1/(x+1)^2
g(x)=x/(1+x)^2
f(x)/x=[x/(1+x)^2]'=(1+2x-x^2) / (1+x)^4
f(x)=(x+2x^2-x^3)/(1+x)^4

有不懂欢迎追问

热心网友时间：2024-03-08 00:19

注意

n^2 = (n+2)(n+1) - 3(n+1) + 1，
则
∑(n=1~∞)[(-1)^(n+1)](n^2)(x^n)
= ∑(n=1~∞)[(-1)^(n+1)](n+2)(n+1)x^n
- 3∑(n=1~∞)[(-1)^(n+1)](n+1)x^n
+ ∑(n=1~∞)[(-1)^(n+1)]x^n
= f(x) - 3g(x) + h(x)，|x|<1，
对f(x)积分二次，利用已知级数
∑(n=1~∞)[(-1)^(n+1)]x^(n-1) = 1/(1+x)，|x|<1，
就可求和，再求导二次；同样，对g(x)积分一次，也可求和，再求导；而h(x)可直接求和，……，留给你了。