微积分基本定理的问题。。
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发布时间：2024-03-04 21:13
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时间：2024-03-06 02:28
^是次方，积分符号∫后面的括号中(a，b)，a是下界、b是上界
|(a，b)表示赋值，其中b≥a
1° 0≤x<1，此时f(t)=t^2
则φ(x)=∫(0，x)f(t)dt=∫(0，x)t^2dt=t^3/3|(0，x)=x^3/3-0^3/3=x^3/3
2° 1≤x≤2，则φ(x)=∫(0，x)f(t)dt=∫(0，1)f(t)dt+∫(1，x)f(t)dt
注意到f(t)的定义域为[0，1)∪(1，2]，即f(t)在t=1处不连续
连续表示可导，但是某些不连续仍然可导，需要利用反常积分的知识
∫(0，1)f(t)dt=lim(a→1-)∫(0，a)f(t)dt，由于0≤a<1，所以f(t)=t^2
则∫(0，1)f(t)dt=lim(a→1-)∫(0，a)t^2dt=lim(a→1-)(t^3/3|(0，a))
=lim(a→1-)(a^3/3-0^3/3)=lim(a→1-)(a^3/3)=1^3/3=1/3
∫(1，x)f(t)dt=lim(b→1+)∫(b，x)f(t)dt，由于1<b<x≤2，所以f(t)=t
则∫(1，x)f(t)dt=lim(b→1+)∫(b，x)tdt=lim(b→1+)(t^2/2|(b，x))
=lim(b→1+)(x^2/2-b^2/2)=x^2/2-1^2/2=x^2/2-1/2
所以φ(x)=∫(0，x)f(t)dt=∫(0，1)f(t)dt+∫(1，x)f(t)dt=1/3+x^2/2-1/2=x^2/2-1/6
综上所述，φ(x)=x^3/3 (0≤x<1)
=x^2/2-1/6 (1≤x≤2)
注意到φ(x)为分段函数，且在(0，1)，[1，2)连续，只需检验在x=1上是否连续
lim(x→1-)φ(x)=lim(x→1-)x^3/3=1^3/3=1/3，又lim(x→1+)φ(x)=φ(1)=1^2/2-1/6=1/3
lim(x→1-)φ(x)=lim(x→1+)φ(x)=1/3，所以lim(x→1)φ(x)=1/3
而φ(1)=1^2/2-1/6=1/3，由lim(x→1)φ(x)=φ(1)知，φ(x)在x=1处连续
从而φ(x)在(0，2)上连续
