...A的伴随矩阵等于A的转置,试证A的行列式等于一,且A为正交矩阵...
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发布时间：2024-03-03 20:53
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时间：2024-03-16 20:09
若r(A) = n, 则r(A*) = n;
若r(A) = n-1, 则r(A*) = 1;
若r(A) < n-1, 则r(A*) = 0.
证明: 当r(A) = n, 有A可逆, |A| ≠ 0.
于是由A*A = |A|·E可得A* = |A|·A^(-1)也可逆.
当r(A) = n-1, A有非零的n-1阶子式, 故A* ≠ 0, r(A*) ≥ 1.
又A*A = |A|·E = 0, 故r(A*)+r(A) ≤ r(A*A)+n = n, 即得r(A*) = 1.
当r(A) < n-1, A的n-1阶子式全为0, 故A* = 0, r(A*) = n.
回到原题, 由条件A* = A'得r(A*) = r(A') = r(A).
当n > 2, 根据前述结论, 只有r(A) = n, 故|A| ≠ 0.
对A*A = |A|·E取行列式得|A*|·|A| = |A|^n.
于是有|A|^2 = |A'|·|A| = |A*|·|A| = |A|^n, 解得|A| = 1 (|A|为非零实数).
进而得A'A = A*A = E, 即A为正交矩阵.
n = 1, 2时是有反例的, 例如A = 2E.
