正弦函数无穷乘积式的证明

发布网友 发布时间：2022-05-05 08:28

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热心网友 时间：2023-10-24 18:57

你首先要讲清楚“初等”的范围，一般来讲初等数学里面是没有极限的，也就不谈无穷乘积。
从初等数学的角度只能去理解而非证明这个式子：
sin(πx)=0的根是所有整数，所以x和所有的(1-x/n)都是它的因子，至于首项系数的确定则需要用到lim(x->0)sinx/x=1。

热心网友 时间：2023-10-24 18:57

1、正弦函数的幂级数展开式：
sinZ=ZΣ(n=0～∞){[(-1)^n*Z^(2n)]/(2n+1)!}=Zf(Z)
注：
(1)Z为所有复数时，该级数都收敛，
(2)f(Z)的所有零点为c(n)=nπ(n=±1、±2、……±∞)
2、设f(Z,m)=Σ(n=0～m){[(-1)^n*Z^(2n)]/(2n+1)!}，
f(Z,m)的所有零点为c(n,m)(n=±1、±2、……±m)
3、由代数基本定理得：
若b(n)(n=1～M)是g(Z,M)=1+Σ(n=1～M)[a(n)*Z^n]的所有零点，
则g(Z,M)=Π(n=1～M)[1-Z/b(n)]
故f(Z,m)=Π(n=1～m)[1-Z²/c²(n,m)]
4、取m→∞得：
c(n,m)→c(n)
f(Z,m)→f(Z)
即sinZ=ZΠ(n=1～∞)[1-Z²/(nπ)²]
令Z=xπ得：
sin(πx)=(πx)∏(n=1～∞)(1-x²/n²).

热心网友 时间：2023-10-24 18:58

1、正弦函数的幂级数展开式：
sinZ=Z∑(n=0～∞){[(-1)^n*Z^(2n)]/(2n+1)!}=Zf(Z)
注：
(1)Z为所有复数时，该级数都收敛，
(2)f(Z)的所有零点为c(n)=nπ(n=±1、±2、……±∞)
2、设f(Z,m)=∑(n=0～m){[(-1)^n*Z^(2n)]/(2n+1)!}，
f(Z,m)的所有零点为c(n,m)(n=±1、±2、……±m)
3、由代数基本定理得：
若b(n)(n=1～M)是g(Z,M)=1+∑(n=1～M)[a(n)*Z^n]的所有零点，
则g(Z,M)=∏(n=1～M)[1-Z/b(n)]
故f(Z,m)=∏(n=1～m)[1-Z²/c²(n,m)]
4、取m→∞得：
c(n,m)→c(n)
f(Z,m)→f(Z)
即sinZ=Z∏(n=1～∞)[1-Z²/(nπ)²]
令Z=xπ得：
sin(πx)=(πx)∏(n=1～∞)(1-x²/n²).