韦达定理的推广!!不懂!!
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发布时间：2022-05-05 08:51
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时间：2023-10-25 23:30
一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac≥0)中 设两个根为x1，x2 则X1+ X2= -b/a X1·X2=c/a 用韦达定理判断方程的根 若b^2-4ac≥0则方程有实数根 若b^2-4ac>0 则方程有两个不相等的实数根 若b^2-4ac=0 则方程有两个相等的实数根 若b^2-4ac<0 则方程没有实数解
编辑本段推广
韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的，对一个一元n次方程∑AiX^i=0 韦达定理推广
它的根记作X1,X2…，Xn 我们有右图等式组 其中∑是求和，Π是求积。 如果一元二次方程 在复数集中的根是，那么 由代数基本定理可推得：任何一元 n 次方程 在复数集中必有根。因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积： 其中是该方程的个根。两端比较系数即得韦达定理。 (x1-x2)的绝对值为√(b^2-4ac)/|a| 法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。 韦达定理在方程论中有着广泛的应用。
编辑本段证明及结论
二次函数与一元二次方程的解
由一元二次方程求根公式为：X = (-b±√b^2-4ac)/2a （注意：a指二次项系数，b指一次项系数，c指常数） 可得X1= (-b+√b^2-4ac)/2a ，X2= (-b-√b^2-4ac)/2a 1. X1﹢X2=（-b+√b^2-4ac)/2a+（-b-√b^2-4ac)/2a 所以X1﹢X2=-b/a 2. X1X2= [（-b+√b^2-4ac﹚÷2a]×[（-b-√b^2-4ac﹚÷2a] 所以X1X2=c/a （补充：X1^2+X2^2=(X1+X2)^2-2X1·X2） （扩充）3.X1-X2=（-b+√b^2-4ac)/2a-（-b-√b^2-4ac)/2a 又因为X1.X2的值可以互换，所以则有 X1-X2=±【（-b+√b^2-4ac)/2a-（-b-√b^2-4ac)/2a】 所以X1-X2=±（√b^2-4ac）/a 韦达定理推广的证明 设X?，X?，……，xn是一元n次方程∑AiXi =0的n个解。 则有：An(x-x?)(x-x?)……(x-xn)=0 所以：An(x-x?)(x-x?)……(x-xn)=∑AiXi （在打开(x-x?)(x-x?)……(x-xn)时最好用乘法原理） 通过系数对比可得： A（n-1）=-An(∑xi) A（n-2）=An(∑xixj) … A0=[(-1) ]×An×ΠXi 所以：∑Xi=[(-1) ]×A(n-1)/A(n) ∑XiXj=[(-1) ]×A(n-2)/A(n) … ΠXi=[(-1) ]×A(0)/A(n) 其中∑是求和，Π是求积。
编辑本段有关韦达定理的例题
例1 已知p+q=198，求方程x^2+px+q=0的整数根． (94祖冲之杯数学邀请赛试题) 解：设方程的两整数根为x1、x2，不妨设x1≤x2．由韦达定理，得 x1+x2=－p，x1x2=q． 于是x1·x2－(x1+x2)=p+q=198， 即x1·x2－x1－x2+1=199． ∴运用提取公因式法(x1－1)·(x2－1)=199． 注意到（x1－1）、（x2－1）均为整数， 解得x1=2，x2=200；x1=－198，x2=0． 例2 已知关于x的方程x－(12－m)x+m－1=0的两个根都是正整数，求m的值． 解：设方程的两个正整数根为x1、x2，且不妨设x1≤x2．由韦达定理得 x1+x2=12－m，x1x2=m－1． 于是x1x2+x1+x2=11， 即(x1+1)( x2+1)=12． ∵x1、x2为正整数， 解得x1=1，x2=5；x1=2，x2=3． 故有m=6或7． 例3 求实数k，使得方程kx^2+(k+1)x+(k－1)=0的根都是整数． 解：若k=0，得x=1，即k=0符合要求． 若k≠0，设二次方程的两个整数根为x1、x2，且X1≤X2，由韦达定理得 ∴x1x2－X1－x2=2， (x1－1)( x2－1)=3． 因为x1－1、x2－1均为整数， 所以X1=2，X2=4；X1=—2，X2=0. 所以k=1,或k=-1/7 例4 已知二次函数y=－x²+px+q的图像与x轴交于(α，0)、(β，0)两点，且α>1>β，求证：p+q>1． (97四川省初中数学竞赛试题) 证明：由题意，可知方程－x²+px+q=0的两根为α、β． 由韦达定理得 α+β=p，αβ=－q． 于是p+q=α+β－αβ， =－(αβ－α－β+1)+1 =－(α－1)(β－1)+1>1(因α>1>β)
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时间：2023-10-25 23:31
高斯复根相关的定理研究告诉我们一元n次方程一定有n个根，天才伽得罗又说一元5次以上无求根公式。你说有意思把，它有根就是不知道怎么求。现在回到正题。
一般一元n次方程为
a[n]x^n+a[n-1]x^(n-1)+'''+a[0]=0
即
(1):x^n+a[n-1]/a[n]x^(n-1)+'''+a[0]/a[n]=0
Gauss（高斯）告诉我们还可以写成下式(其中x[1],...,x[n]为相应的n个根)
(2):(x-x[1])(x-x[2])'''(x-x[n])=0
上面在展开
x^n+(-x[1]-x[2]-'''-x[n])x^(n-1)+(x[1]x[2]+x[1]x[3]'''+x[n-1]x[n])x^(n-1)+'''+x[1]'''x[n](-1)^n=0
比较(1)(2)里面x^n系数，其实没什么值得比较的；
比较(1)(2)里面x^(n-1)系数，这就有意思了！a[n-1]/a[n]=-x[1]-x[2]-'''-x[n]这是什么！系数与根的和关系，你要是那个时代的人发现这个也成为Gauss了！
比较(1)(2)里面x^(n-2)系数，也很有意思。a[n-2]/a[n]=x[1]x[2]+'''+x[n-1]x[n]
但右边是什么？！反应快马上想到，这是x[1]，x[2]，'''，x[n-1]，x[n]这些根从中选择两个相乘之后求和，注意一定要不重不漏，所有n个根任选择2个，把n个根选择2个根的所有情况都找出来，然后加一下。
另外我们要写成数学语言阿，怎么办当年那位伟人就想到一个表示方法Sum{x[i]x[j]}[let 1<=i<j<=n]。现在看看1<=i<j<=n这个表示NB阿，你要学了排列更好理解正好是排列里的cn2。将n个根不重不漏选择两个组合相乘后求和。不学排列也没关系，想想不也一样理解了~~
比较(1)(2)里面x^(n-1)系数，你估计也明白了八。a[n-3]/a[n]=x[1]x[2][3]+'''+x[n-2]x[n-1]x[n]
右边是什么ne？！这是x[1]，x[2]，'''，x[n-1]，x[n]这些根从中选择三个求和，也就是C[n]{3}，排列里面的cn3。还是千万要注意不重不漏！！！所有n个根任选择3个，把n个根选择3个根的所有情况都找出来，然后加一下。用数学语言表示Sum{x[i]x[j]x[l]}[let 1<=i<j<l<=n]。
现在看看1<=i<j<l<=n表示也不怎么NB拉，其实就是cn3每种组合情况写出来加一下，就是将n个根不重不漏选择三个组合相乘后再求和。
中间的比较其他的就不多说了。
最后一个很有意思
x[1]'''x[n](-1)^n=a[0]/a[n]
这是一个所有根之积与a[0]/a[n]的关系，学现性代数那段还拉出来证明过一个定理。
学习愉快，数学其实很有意思的说~~
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时间：2023-10-25 23:30
一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac≥0)中 设两个根为x1，x2 则X1+ X2= -b/a X1·X2=c/a 用韦达定理判断方程的根 若b^2-4ac≥0则方程有实数根 若b^2-4ac>0 则方程有两个不相等的实数根 若b^2-4ac=0 则方程有两个相等的实数根 若b^2-4ac<0 则方程没有实数解
编辑本段推广
韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的，对一个一元n次方程∑AiX^i=0 韦达定理推广
它的根记作X1,X2…，Xn 我们有右图等式组 其中∑是求和，Π是求积。 如果一元二次方程 在复数集中的根是，那么 由代数基本定理可推得：任何一元 n 次方程 在复数集中必有根。因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积： 其中是该方程的个根。两端比较系数即得韦达定理。 (x1-x2)的绝对值为√(b^2-4ac)/|a| 法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。 韦达定理在方程论中有着广泛的应用。
编辑本段证明及结论
二次函数与一元二次方程的解
由一元二次方程求根公式为：X = (-b±√b^2-4ac)/2a （注意：a指二次项系数，b指一次项系数，c指常数） 可得X1= (-b+√b^2-4ac)/2a ，X2= (-b-√b^2-4ac)/2a 1. X1﹢X2=（-b+√b^2-4ac)/2a+（-b-√b^2-4ac)/2a 所以X1﹢X2=-b/a 2. X1X2= [（-b+√b^2-4ac﹚÷2a]×[（-b-√b^2-4ac﹚÷2a] 所以X1X2=c/a （补充：X1^2+X2^2=(X1+X2)^2-2X1·X2） （扩充）3.X1-X2=（-b+√b^2-4ac)/2a-（-b-√b^2-4ac)/2a 又因为X1.X2的值可以互换，所以则有 X1-X2=±【（-b+√b^2-4ac)/2a-（-b-√b^2-4ac)/2a】 所以X1-X2=±（√b^2-4ac）/a 韦达定理推广的证明 设X?，X?，……，xn是一元n次方程∑AiXi =0的n个解。 则有：An(x-x?)(x-x?)……(x-xn)=0 所以：An(x-x?)(x-x?)……(x-xn)=∑AiXi （在打开(x-x?)(x-x?)……(x-xn)时最好用乘法原理） 通过系数对比可得： A（n-1）=-An(∑xi) A（n-2）=An(∑xixj) … A0=[(-1) ]×An×ΠXi 所以：∑Xi=[(-1) ]×A(n-1)/A(n) ∑XiXj=[(-1) ]×A(n-2)/A(n) … ΠXi=[(-1) ]×A(0)/A(n) 其中∑是求和，Π是求积。
编辑本段有关韦达定理的例题
例1 已知p+q=198，求方程x^2+px+q=0的整数根． (94祖冲之杯数学邀请赛试题) 解：设方程的两整数根为x1、x2，不妨设x1≤x2．由韦达定理，得 x1+x2=－p，x1x2=q． 于是x1·x2－(x1+x2)=p+q=198， 即x1·x2－x1－x2+1=199． ∴运用提取公因式法(x1－1)·(x2－1)=199． 注意到（x1－1）、（x2－1）均为整数， 解得x1=2，x2=200；x1=－198，x2=0． 例2 已知关于x的方程x－(12－m)x+m－1=0的两个根都是正整数，求m的值． 解：设方程的两个正整数根为x1、x2，且不妨设x1≤x2．由韦达定理得 x1+x2=12－m，x1x2=m－1． 于是x1x2+x1+x2=11， 即(x1+1)( x2+1)=12． ∵x1、x2为正整数， 解得x1=1，x2=5；x1=2，x2=3． 故有m=6或7． 例3 求实数k，使得方程kx^2+(k+1)x+(k－1)=0的根都是整数． 解：若k=0，得x=1，即k=0符合要求． 若k≠0，设二次方程的两个整数根为x1、x2，且X1≤X2，由韦达定理得 ∴x1x2－X1－x2=2， (x1－1)( x2－1)=3． 因为x1－1、x2－1均为整数， 所以X1=2，X2=4；X1=—2，X2=0. 所以k=1,或k=-1/7 例4 已知二次函数y=－x²+px+q的图像与x轴交于(α，0)、(β，0)两点，且α>1>β，求证：p+q>1． (97四川省初中数学竞赛试题) 证明：由题意，可知方程－x²+px+q=0的两根为α、β． 由韦达定理得 α+β=p，αβ=－q． 于是p+q=α+β－αβ， =－(αβ－α－β+1)+1 =－(α－1)(β－1)+1>1(因α>1>β)
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高斯复根相关的定理研究告诉我们一元n次方程一定有n个根，天才伽得罗又说一元5次以上无求根公式。你说有意思把，它有根就是不知道怎么求。现在回到正题。
一般一元n次方程为
a[n]x^n+a[n-1]x^(n-1)+'''+a[0]=0
即
(1):x^n+a[n-1]/a[n]x^(n-1)+'''+a[0]/a[n]=0
Gauss（高斯）告诉我们还可以写成下式(其中x[1],...,x[n]为相应的n个根)
(2):(x-x[1])(x-x[2])'''(x-x[n])=0
上面在展开
x^n+(-x[1]-x[2]-'''-x[n])x^(n-1)+(x[1]x[2]+x[1]x[3]'''+x[n-1]x[n])x^(n-1)+'''+x[1]'''x[n](-1)^n=0
比较(1)(2)里面x^n系数，其实没什么值得比较的；
比较(1)(2)里面x^(n-1)系数，这就有意思了！a[n-1]/a[n]=-x[1]-x[2]-'''-x[n]这是什么！系数与根的和关系，你要是那个时代的人发现这个也成为Gauss了！
比较(1)(2)里面x^(n-2)系数，也很有意思。a[n-2]/a[n]=x[1]x[2]+'''+x[n-1]x[n]
但右边是什么？！反应快马上想到，这是x[1]，x[2]，'''，x[n-1]，x[n]这些根从中选择两个相乘之后求和，注意一定要不重不漏，所有n个根任选择2个，把n个根选择2个根的所有情况都找出来，然后加一下。
另外我们要写成数学语言阿，怎么办当年那位伟人就想到一个表示方法Sum{x[i]x[j]}[let 1<=i<j<=n]。现在看看1<=i<j<=n这个表示NB阿，你要学了排列更好理解正好是排列里的cn2。将n个根不重不漏选择两个组合相乘后求和。不学排列也没关系，想想不也一样理解了~~
比较(1)(2)里面x^(n-1)系数，你估计也明白了八。a[n-3]/a[n]=x[1]x[2][3]+'''+x[n-2]x[n-1]x[n]
右边是什么ne？！这是x[1]，x[2]，'''，x[n-1]，x[n]这些根从中选择三个求和，也就是C[n]{3}，排列里面的cn3。还是千万要注意不重不漏！！！所有n个根任选择3个，把n个根选择3个根的所有情况都找出来，然后加一下。用数学语言表示Sum{x[i]x[j]x[l]}[let 1<=i<j<l<=n]。
现在看看1<=i<j<l<=n表示也不怎么NB拉，其实就是cn3每种组合情况写出来加一下，就是将n个根不重不漏选择三个组合相乘后再求和。
中间的比较其他的就不多说了。
最后一个很有意思
x[1]'''x[n](-1)^n=a[0]/a[n]
这是一个所有根之积与a[0]/a[n]的关系，学现性代数那段还拉出来证明过一个定理。
学习愉快，数学其实很有意思的说~~
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时间：2023-10-25 23:30
一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac≥0)中 设两个根为x1，x2 则X1+ X2= -b/a X1·X2=c/a 用韦达定理判断方程的根 若b^2-4ac≥0则方程有实数根 若b^2-4ac>0 则方程有两个不相等的实数根 若b^2-4ac=0 则方程有两个相等的实数根 若b^2-4ac<0 则方程没有实数解
编辑本段推广
韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的，对一个一元n次方程∑AiX^i=0 韦达定理推广
它的根记作X1,X2…，Xn 我们有右图等式组 其中∑是求和，Π是求积。 如果一元二次方程 在复数集中的根是，那么 由代数基本定理可推得：任何一元 n 次方程 在复数集中必有根。因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积： 其中是该方程的个根。两端比较系数即得韦达定理。 (x1-x2)的绝对值为√(b^2-4ac)/|a| 法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。 韦达定理在方程论中有着广泛的应用。
编辑本段证明及结论
二次函数与一元二次方程的解
由一元二次方程求根公式为：X = (-b±√b^2-4ac)/2a （注意：a指二次项系数，b指一次项系数，c指常数） 可得X1= (-b+√b^2-4ac)/2a ，X2= (-b-√b^2-4ac)/2a 1. X1﹢X2=（-b+√b^2-4ac)/2a+（-b-√b^2-4ac)/2a 所以X1﹢X2=-b/a 2. X1X2= [（-b+√b^2-4ac﹚÷2a]×[（-b-√b^2-4ac﹚÷2a] 所以X1X2=c/a （补充：X1^2+X2^2=(X1+X2)^2-2X1·X2） （扩充）3.X1-X2=（-b+√b^2-4ac)/2a-（-b-√b^2-4ac)/2a 又因为X1.X2的值可以互换，所以则有 X1-X2=±【（-b+√b^2-4ac)/2a-（-b-√b^2-4ac)/2a】 所以X1-X2=±（√b^2-4ac）/a 韦达定理推广的证明 设X?，X?，……，xn是一元n次方程∑AiXi =0的n个解。 则有：An(x-x?)(x-x?)……(x-xn)=0 所以：An(x-x?)(x-x?)……(x-xn)=∑AiXi （在打开(x-x?)(x-x?)……(x-xn)时最好用乘法原理） 通过系数对比可得： A（n-1）=-An(∑xi) A（n-2）=An(∑xixj) … A0=[(-1) ]×An×ΠXi 所以：∑Xi=[(-1) ]×A(n-1)/A(n) ∑XiXj=[(-1) ]×A(n-2)/A(n) … ΠXi=[(-1) ]×A(0)/A(n) 其中∑是求和，Π是求积。
编辑本段有关韦达定理的例题
例1 已知p+q=198，求方程x^2+px+q=0的整数根． (94祖冲之杯数学邀请赛试题) 解：设方程的两整数根为x1、x2，不妨设x1≤x2．由韦达定理，得 x1+x2=－p，x1x2=q． 于是x1·x2－(x1+x2)=p+q=198， 即x1·x2－x1－x2+1=199． ∴运用提取公因式法(x1－1)·(x2－1)=199． 注意到（x1－1）、（x2－1）均为整数， 解得x1=2，x2=200；x1=－198，x2=0． 例2 已知关于x的方程x－(12－m)x+m－1=0的两个根都是正整数，求m的值． 解：设方程的两个正整数根为x1、x2，且不妨设x1≤x2．由韦达定理得 x1+x2=12－m，x1x2=m－1． 于是x1x2+x1+x2=11， 即(x1+1)( x2+1)=12． ∵x1、x2为正整数， 解得x1=1，x2=5；x1=2，x2=3． 故有m=6或7． 例3 求实数k，使得方程kx^2+(k+1)x+(k－1)=0的根都是整数． 解：若k=0，得x=1，即k=0符合要求． 若k≠0，设二次方程的两个整数根为x1、x2，且X1≤X2，由韦达定理得 ∴x1x2－X1－x2=2， (x1－1)( x2－1)=3． 因为x1－1、x2－1均为整数， 所以X1=2，X2=4；X1=—2，X2=0. 所以k=1,或k=-1/7 例4 已知二次函数y=－x²+px+q的图像与x轴交于(α，0)、(β，0)两点，且α>1>β，求证：p+q>1． (97四川省初中数学竞赛试题) 证明：由题意，可知方程－x²+px+q=0的两根为α、β． 由韦达定理得 α+β=p，αβ=－q． 于是p+q=α+β－αβ， =－(αβ－α－β+1)+1 =－(α－1)(β－1)+1>1(因α>1>β)
热心网友
时间：2023-10-25 23:31
高斯复根相关的定理研究告诉我们一元n次方程一定有n个根，天才伽得罗又说一元5次以上无求根公式。你说有意思把，它有根就是不知道怎么求。现在回到正题。
一般一元n次方程为
a[n]x^n+a[n-1]x^(n-1)+'''+a[0]=0
即
(1):x^n+a[n-1]/a[n]x^(n-1)+'''+a[0]/a[n]=0
Gauss（高斯）告诉我们还可以写成下式(其中x[1],...,x[n]为相应的n个根)
(2):(x-x[1])(x-x[2])'''(x-x[n])=0
上面在展开
x^n+(-x[1]-x[2]-'''-x[n])x^(n-1)+(x[1]x[2]+x[1]x[3]'''+x[n-1]x[n])x^(n-1)+'''+x[1]'''x[n](-1)^n=0
比较(1)(2)里面x^n系数，其实没什么值得比较的；
比较(1)(2)里面x^(n-1)系数，这就有意思了！a[n-1]/a[n]=-x[1]-x[2]-'''-x[n]这是什么！系数与根的和关系，你要是那个时代的人发现这个也成为Gauss了！
比较(1)(2)里面x^(n-2)系数，也很有意思。a[n-2]/a[n]=x[1]x[2]+'''+x[n-1]x[n]
但右边是什么？！反应快马上想到，这是x[1]，x[2]，'''，x[n-1]，x[n]这些根从中选择两个相乘之后求和，注意一定要不重不漏，所有n个根任选择2个，把n个根选择2个根的所有情况都找出来，然后加一下。
另外我们要写成数学语言阿，怎么办当年那位伟人就想到一个表示方法Sum{x[i]x[j]}[let 1<=i<j<=n]。现在看看1<=i<j<=n这个表示NB阿，你要学了排列更好理解正好是排列里的cn2。将n个根不重不漏选择两个组合相乘后求和。不学排列也没关系，想想不也一样理解了~~
比较(1)(2)里面x^(n-1)系数，你估计也明白了八。a[n-3]/a[n]=x[1]x[2][3]+'''+x[n-2]x[n-1]x[n]
右边是什么ne？！这是x[1]，x[2]，'''，x[n-1]，x[n]这些根从中选择三个求和，也就是C[n]{3}，排列里面的cn3。还是千万要注意不重不漏！！！所有n个根任选择3个，把n个根选择3个根的所有情况都找出来，然后加一下。用数学语言表示Sum{x[i]x[j]x[l]}[let 1<=i<j<l<=n]。
现在看看1<=i<j<l<=n表示也不怎么NB拉，其实就是cn3每种组合情况写出来加一下，就是将n个根不重不漏选择三个组合相乘后再求和。
中间的比较其他的就不多说了。
最后一个很有意思
x[1]'''x[n](-1)^n=a[0]/a[n]
这是一个所有根之积与a[0]/a[n]的关系，学现性代数那段还拉出来证明过一个定理。
学习愉快，数学其实很有意思的说~~
