...1 4 x 2 -x+f(x) ,求g(x)在[0,2]上的最大值与最

发布网友发布时间：2024-03-18 05:02

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热心网友时间：2024-03-19 11:08

（1） g(x)= 1 4 x 2 -x+ln(x+1) ， g′(x)= 1 2 x-1+ 1 x+1 = x(x-1) 2(x+1)
∴g（x）在[0，1]上单调减，在[1，2]上单调增
∵g（0）=0，g（1）= - 3 4 +ln2 ，g（2）=-1+ln3
∴g（x）在[0，2]上的最大值为-1+ln3，最小值为0
（2）证明：函数的定义域为（-1，+∞）
构造函数h（x）=f（x）-x，∴h′（x）= 1 x+1 -1= -x x+1
∴函数在（-1，0）上单调增，在（0，+∞）上单调减
∴在x=0处，函数取得极大值，也是最大值
∴h（x）≤h（0）=0
∴f（x）-x≤0
∵x＞0，∴ f( 1 x )＜ 1 x
构造函数φ（x）=f（x）- x 1+x ，∴φ′（x）= x (x+1) 2
∴函数在（-1，0）上单调减，在（0，+∞）上单调增
∴在x=0处，函数取得极小，也是最小值
∴φ（x）≥φ（0）=0
∴f（x）- x 1+x ≥0
∵x＞0，∴ 1 1+x ＜f( 1 x )
∴ 1 1+x ＜f( 1 x )＜ 1 x
（3）证明：∵f（x）=ln（x+1），∴f（n）-f（n-1）=f（ 1 n ）
由（2）知： 1 1+n ＜f( 1 n )＜ 1 n
∴ 1 1+n ＜f(n)-f(n-1)＜ 1 n
∴ 1 1+1 ＜f(1)-f(0)＜1 ， 1 1+2 ＜f(2)-f(1)＜ 1 2 ， 1 1+3 ＜f(3)-f(3-1)＜ 1 3 ，…， 1 1+n ＜f(n)-f(n-1)＜ 1 n
叠加可得： 1 2 + 1 3 + 1 4 +…+ 1 n+1 ＜f(n)＜1+ 1 2 + 1 3 +…+ 1 n